§3----解三角形的实际应用举例

No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引§3解三角形的实际应用举例No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2.提高应用数学知识解决实际问题的能力．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引1.对解三角形实际应用的考查是本节的热点．2.本节内容多与实际问题中测量距离、高度、角度、面积等问题结合考查．3.各种题型均可出现，以中低档题为主.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引1．通过前面的学习，我们已经知道，在三角形的三条边和三个角共六个元素中，要知道三个(其中至少有一个边)才能解该三角形，按已知条件可分为四种情况：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由，求角A；由求出b与c，在有解时只有一解A＋B＋C＝180°正弦定理No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引已知条件应用定理一般解法两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由求第三边c；由求出一边所对的角；再由求出另一角，在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由求出A、B；再利用求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由求出B；由求出角C；再利用求c，可有两解、一解或无解余弦定理正弦定理A＋B＋C＝180°余弦定理A＋B＋C＝180°正弦定理A＋B＋C＝180°正弦定理或余弦定理No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引2.在正弦定理、余弦定理及其变形公式中(1)求边a的公式有a＝bsinAsinB＝b2＋c2－2bccosA＝2RsinA(R为△ABC外接圆半径)(2)求角A的公式有sinA＝asinBb，cosA＝b2＋c2－a22bc.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引1．基线(1)定义：在测量上，根据需要适当确定的线段叫做基线．(2)性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的，使测量具有较高的．一般来说，基线越长，测量的精确度越．测量基线长度精确度高No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引2．对实际应用问题中的一些名称、术语的含义的理解(1)坡角：坡向与水平方向的夹角，如图．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图中B点的方位角为α.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图中∠ABC为北偏东60°或为东偏北30°.3．正弦定理、余弦定理在实际测量中应用很广，主要学习它们在测量、、等问题中的一些应用．距离高度角度No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引1．以下图示是表示北偏西135°的是()答案：CNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引2．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()A．d1＞d2B．d1＜d2C．d1＞20mD．d2＜20m解析：由tan50°＝20°d1，tan40°＝20d2及tan50°＞tan40°可知，d1＜d2.答案：BNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引3．如下图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引解析：易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×－12＝3a2.∴AB＝3a.答案：3acmNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引4.如图，海上有A、B、C三个小岛，其中A、B两个小岛相距10nmile从A岛望C岛和B岛成45°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则BC的距离为________nmile.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引解析：易知C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理，得BCsinA＝ABsinC，所以BC＝ABsinAsinC＝10sin45°sin60°＝1063.答案：1063No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引5.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引解析：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝103t海里，BD＝10t海里．∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2cos120°＝6，∴BC＝6.∵BCsin∠BAC＝ACsin∠ABC，∴sin∠ABC＝AC·sin∠BACBC＝2sin120°6＝22，No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.∵BDsin∠BCD＝CDsin∠CBD，∴sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引由∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，得∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝6，∴t＝610小时．答：缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需610小时.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引[解题过程]如图所示，若“黄山”舰以最少时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形．设所需时间为t小时，则AB＝21t，BC＝9t.又已知AC＝10，依题意知，∠ACB＝120°，根据余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BCcos∠ACB.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9tcos120°，∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，即360t2－90t－100＝0.∴t＝23或t＝－512(舍)．∴AB＝21×23＝14(海里)．即“黄山”舰需要用23小时靠近商船，共航行14海里．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引[题后感悟](1)将追及问题转化为三角形问题，即可把实际问题转化为数学问题．这样借助于正弦定理或余弦定理，就容易解决问题了．最后要把数学问题还原到实际问题中去．(2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决．(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引1.如图，为测量河对岸A，B两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BCsin30°＝CDsin45°，则BC＝CDsin30°sin45°＝64(km)．在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD为正三角形，方法一：∵∠ADB＝∠BDC，∴BD为正△ADC边AC上的中垂线，∴AB＝BC＝64(km)．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引方法二：在正△ADC中，AC＝CD＝32(km)．在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝34＋616－2×32×64×22＝38，∴AB＝64(km)．答：河对岸A，B两点间距离为64km.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引[解题过程]由于CD⊥面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD，因此，只需在△ABD中求出AD即可．在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由ABsin15°＝ADsin45°得，AD＝AB·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(km)答：山高CD为800(3＋1)km.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引[题后感悟]解决测量高度问题的一般步骤是：在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引2.在某一山顶观测山下两村庄A、B，测得A的俯角为30°，B的俯角为40°，观测A、B两村庄的视角为50°，已知A、B在同一海平面上且相距1000米，求山的高度．(精确到1米，sin40°≈0.643)No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引解析：设山顶为C，山高CD＝x，由题意∠CAD＝30°，∠CBD＝40°，∠ACB＝50°.在Rt△ADC中，AC＝CDsin30°＝2x，在Rt△BDC中，BC＝CDsin40°＝xsin40°，No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课时作业工具第二章解三角形栏目导引在△ABC中，由余弦定理知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB