从力的做功到向量的数量积

从力做功到向量的数量积如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:位移SOAθFFθS力做功的计算cosSFW功为两个向量之间的某种运算，称为数量积表示力F的方向与位移S的方向的夹角。1夹角θOabAB已知两个非零向量和,作，OAaOBb则∠AOB=θ(0º≤θ≤180º)叫做向量与的夹角.(起点相同)ababababab当θ=90º时，与垂直记作：abab当θ=180º时，与反向ba规定：a0当θ=0º时，与同向ab如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！12060'C练习OABθB12射影的定义如图,过点B作BB1⊥OA于B1aOAbOBcos1bOB则||cosθ叫作向量在方向上的射影bab当夹角为钝角、直角时射影应如何呢？baθOOθab||cosbab在上的投影：||cos0bOab||cos0bab||cos0b||cosaba在上的投影：3数量积已知两个向量与，它们的夹角为,我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，则||||cosabab数量积运算下来是数量，与长度、夹角的余值有关。且中间的小圆点不能省。||||cosabababab||||cosabab几何意义θB1OAababB数量积等于的长度与在的方向上的射影的乘积，或的长度||与在方向上射影||cos的乘积。aba||ab||cosbabbab当两个向量相等时,两个向量的数量积等于向量长度的平方当两个向量都是单位向量时,它们的数量积等于它们夹角的余弦值:22aaaacoscos2121eeee两个特殊向量之间怎样进行数量及运算呢？4.向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b的单位向量.1.ea=ae=|a|cos;2.abab=03.aa=|a|2或aaa||4.cos=；||||baba5.|ab|≤|a||b|判定两向量垂直的条件用于计算向量的模用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状ba//向量数量积满足的运算律cbcacbababababaabba))(3(;)()())(2(;1）（想一想：∴向量数量积不满足结合律.向量的数量积满足结合律吗？说明：，共线的向量表示一个与ccba)(，共线的向量表示一个与而acba)(，不一定共线与而ac)()(cbacba)()(cbacba即：成立吗？.例求证：；2222)()1(bbaaba.)()()2(22bababa证明：)()()()1(2babababbabbaaa；222bbaa)()()2(bababbabbaaa.22ba.3例，的夹角为与，，已知604||6||baba.)3()2(baba求解：.)3()2(bababbbaaa622||6||bbaa22||6cos||||||bbaa224660cos466.72，的夹角为与，，已知604||6||baba例当且仅当，不共线与且，，已知)(4||3||baba？互相垂直与向量，为何值时bkabkak例ba2求例1已知3a4b且与的夹角ab150o求ab解||||cosababo150cos43231236的夹角与垂直，求与垂直，与非零向量，且例，已知都是babababababa274573,的夹角与求量，同时满足例，已知是两个非零向baababa的范围的夹角为钝角，求与，若向量的夹角为与，，例，已知t72601||2||btabatbaba变式训练:已知|a|=3,|b|=5，且a·b=－12，求a在b方向上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数量。解：因为4cos||||5abab12||cos||5abab||cos4||abba所以a在b方向上的正射影的数量是b在a方向上的正射影的数量是课堂小结2.向量的射影cosaba上的射影在cosbab上的射影在4.两个向量的数量积的性质：(1).abab=0(3).cos=||||baba(2).aa=|a|2或aaa||3.向量的数量积（内积）1.两个向量的夹角0θOabAB||||cosabab121212121.e,e3ee(2)2,3422.,b=b43(2)3.6,4,(2)aeebeeabaababABACAMBCGAM类型一：求数量积已知单位向量的夹角为，求:（1）的数量积已知单位向量的夹角为，且求在ABC中，M是线段BC的中点,(1)若求点为中线上的一个2,3,()3,10,AGGMAMGAGBGCAMBCABAC动点，且满足求（3）求12124.4,1.e,e32,2.=12,(2),2+3.1,,b3_____4.b=43ABCABABAOaeeaabaababABCABaBCabaabab已知O为外接圆的圆心，求类型二：求模已知单位向量的夹角为，求已知，求已知边长为的等边三角形,则已知与满足：，，（2-3[0,1]+tabtab）（2）=61当时，求的取值范围.c1,()(2)4||2||4,b2.,||2||1602t7ttababababababaabababab类型三：夹角问题os=向量满足且，求与的夹角设向量满足，，且它们的夹角为，若与的夹角为钝角，求的范围