2017年高考数学真题三角函数(理科)

第四章三角函数第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42终边相同的角的集合的表示与识别——暂无题型43倍角、等分角的象限问题——暂无题型44弧长与扇形面积公式的计算——暂无题型45三角函数定义题——暂无题型46三角函数线及其应用——暂无题型47象限符号与坐标轴角的三角函数值——暂无题型48诱导求值与变形——暂无题型49同角求值——已知角与目标角相同——暂无第二节三角函数的图像与性质题型50已知解析式确定函数性质1.（2017全国3理6）设函数πcos3fxx，则下列结论错误的是（）.A．fx的一个周期为2B．yfx的图像关于直线83x对称C．fx的一个零点为6xD．fx在上π,2单调递减解析函数πcos3fxx的图像可由cosyx向左平移π3个单位长度得到，由图可知，fx在π,π2上先递减后递增，所以D选项错误.故选D.-6xyO题型51根据条件确定解析式1.（2017天津理7）设函数()2sin()fxx，xR，其中0，||.若528f，08f，且fx的最小正周期大于2，则（）.A.23，12B.23，12C.13，24D.13，24解析解法一：由题意125π282118kk，其中12,kkZ，所以2142233kk.又22T，所以01，从而23.由11212k，由，得π12.故选A．解法二：由528f，08f，易知58x为2sinfxx的一条对称轴，点11,08为fx的一个零点，则11521884Tk，又因为2T，即221=3k.又0，且fx的最小正周期大于2，所以2=3，从而52+2832k，又，所以=12.故选A.2.(2017浙江理18)已知函数22sincos23sincosfxxxxxxR.（1）求23f的值；（2）求fx的最小正周期及单调递增区间.解析（1）由23sin32，21cos32，得222313123232222f.（2）由22cos2cossinxxx，sin22sincosxxx，得cos23sin22sin26fxxxx，所以fx的最小正周期是2π2T.由正弦函数的性质得3222,262kxkkZ剟，解得2,63kxkkZ剟.所以fx的单调递增区间是2,63kkkZ，.题型52三角函数的值域（最值)——暂无题型53三角函数图像变换1.（2017全国1理9）已知曲线1cosCyx：，22πsin23Cyx：，则下面结论正确的是（）.A.把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C解析1:cosCyx，22π:sin23Cyx.首先曲线1C，2C统一为一三角函数名，可将1:cosCyx用诱导公式处理．πππcoscossin222yxxx．横坐标变换需将1变成2，即112πππsinsin2sin2224Cyxyxx上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin2sin233yxx．注意的系数，左右平移需将2提到括号外面，这时π4x平移至π3x，根据“左加右减”原则，“π4x”到“π3x”需加上π12，即再向左平移π12．故选D.2.（2017山东理1）设函数()sinsin62fxxx，其中03.已知06f.（1）求；（2）将函数yfx的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4个单位，得到函数ygx的图像，求()gx在3,44上的最小值.解析（1）因为sinsin62fxxx，所以31sincoscos22fxxxx33sincos22xx133sincos22xx3sin3x.由题设知06f，所以63k，kZ.故62k，kZ，又03，所以2.（2）由（1）得3sin23fxx，所以3sin3sin4312gxxx.因为3,44x，所以2,1233x，当123x，即4x时，gx取得最小值32.第三节三角恒等变换题型54化简求值1.（17江苏05）若π1tan46，则tan．解析解法一（角的关系）：tantan447tan1746551tan64．故填75．解法二（直接化简）：πtan11tan41tan6，所以7tan5．故填75．2.(2017北京理12)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若1sin3，cos=___________.解析由题作出图形，如图所示，1sin3，则22cos3，由于与关于y轴对称，则1sinsin3，22cos3，故2222117cos33339.Oxyβα3.（2017全国2理14）函数23sin3cos0,42fxxxx的最大值是．解析2233πsin3cos1cos3cos0442fxxxxxx，，令cosxt且01t，，2134ytt2312t，当32t，即6x时，fx取最大值为1．4.(2017浙江理18)已知函数22sincos23sincosfxxxxxxR.（1）求23f的值；（2）求fx的最小正周期及单调递增区间.解析（1）由23sin32，21cos32，得222313123232222f.（2）由22cos2cossinxxx，sin22sincosxxx，得cos23sin22sin26fxxxx，所以fx的最小正周期是2π2T.由正弦函数的性质得3222,262kxkkZ剟，解得2,63kxkkZ剟.所以fx的单调递增区间是2,63kkkZ，.第四节解三角形题型55正弦定理的应用1.（2017天津理15）在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知ab，5,6ac，3sin5B.（1）求b和sinA的值；（2）求πsin24A的值.解析（1）在ABC△中，因为ab，故由3sin5B，可得4cos5B.由已知及余弦定理，得2222cos13bacacB，所以13b.由正弦定理sinsinabAB，得sin313sin13aBAb.（2）由（Ⅰ）及ac，得213cos13A，所以12sin22sincos13AAA，25cos212sin13AA，故πππ72sin2sin2coscos2sin44426AAA.2.（2017山东理9）在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若ABC△为锐角三角形，且满足sin12cos2sincoscossinBCACAC，则下列等式成立的是（）.A.2abB.2baC.2ABD.2BA解析因为sin()2sincos2sincoscossinACBCACAC，所以2sincossincosBCAC，又02C，得2sinsinBA，即2ba.故选A.题型56余弦定理的应用题型57判断三角形的形状——暂无题型58解三角形的综合应用1.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，11EG的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱1CC上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱1GG上，求l没入水中部分的长度．ABCDA1B1C1D1容器ⅠFEGHOE1F1G1H1O1容器Ⅱ解析（1）由正棱柱的定义，1CC平面ABCD，所以平面11AACC平面ABCD，1CCAC．记玻璃棒的另一端落在1CC上点M处，如图所示为截面11AACC的平面图形．因为107AC，40AM，所以224010730MC，从而3sin4MAC.记AM与水面的交点为1P，过点1P作11PQAC，1Q为垂足，则11PQ平面ABCD，故1112PQ，从而11116sinPQAPMAC．答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．问(1)AC1A1CMP1Q1（2）如图所示为截面11EEGG的平面图形，O，1O是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO平面EFGH，所以平面11EEGG平面EFGH，1OOEG．同理，平面11EEGG平面1111EFGH，111OOEG．记玻璃棒的另一端落在1GG上点N处．过G作11GKEG，K为垂足，则132GKOO．因为 14EG，1162EG，所以16214242KG，从而2211 GGKGGK22243240．设1EGG，ENG，则114sinsincos25KGGKGG∠∠．因为2，所以3cos5．在ENG△中，由正弦定理可得4014sinsin，解得7sin25．因为02，所以24cos25，于是sinsinsin=NEG∠sincoscossin4243735255255．记EN与水面的交点为2P，过2P作22PQEG，2Q为垂足，则22PQ平面EFGH，故2212PQ，从而22220sinPQEPNEG．答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．问(2)GOEQ2P2NG1KE1O1评注此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让