数学思想与方法 第3讲

数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法第3讲分类讨论思想数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法真题感悟自主学习导引1．(2012·福建)下列不等式一定成立的是A．lgx2＋14＞lgx(x＞0)B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋1＞1(x∈R)数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法答案C解析选项A中，当x＝12时，不等式不成立；选项B中，当x＝－π4时，不等式不成立；选项D中，当x＝0时，不等式不成立；选项C中，∵x2＋1≥2|x|⇔x2－2|x|＋1≥0，∴当x≥0时，x2－2|x|＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0成立，当x＜0时，x2－2|x|＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0成立，故x2＋1≥2|x|(x∈R)一定成立．数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法2．(2012·安徽)设函数f(x)＝aex＋1aex＋b(a＞0)．(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝32x，求a、b的值．解析(1)f′(x)＝aex－1aex，当f′(x)＞0，即x＞－lna时，f(x)在(－lna，＋∞)上递增；当f′(x)＜0，即x＜－lna时，f(x)在(－∞，－lna)上递减．数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法①当0＜a＜1时，－lna＞0，f(x)在(0，－lna)上递减，在(－lna，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－lna)＝2＋b；②当a≥1时，－lna≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(0)＝a＋1a＋b.(2)依题意f′(2)＝ae2－1ae2＝32，解得ae2＝2或ae2＝－12(舍去)，所以a＝2e2，代入原函数可得2＋12＋b＝3，即b＝12，故a＝2e2，b＝12.数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法高考试题中分类讨论的思想几乎每年都要考查，解答此类题目要找到分类讨论的切入点，即分类的标准，这就可以化整为零，化难为易了．应用分类讨论的思想方法的试题一般为压轴题，有一定的区分度与难度．考题分析数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法1．分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．方法突破数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法2．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等；(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等；(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等；数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等；(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法3．分类讨论的原则(1)不重不漏；(2)标准要统一，层次要分明；(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．4．解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论；(2)对所讨论的对象进行合理的分类；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；(4)归纳总结：将各类情况总结归纳．数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法高频考点突破考点一：数学概念分类型【例1】若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．[审题导引]把零点的个数问题转化为函数图象交点的个数问题，作函数的图象时，注意对参数a的讨论．[规范解答]设函数y＝ax(a＞0且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点．数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法由图象可知(图略)，当0＜a＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a＞1.[答案]a＞1数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法【规律总结】数学概念的分类方法数学中的许多概念是分类定义的，比如：直线的斜率、指数函数、对数函数等，与这些数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类、从而全面完整地解决问题．数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法【变式训练】1．“m＝12”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析当m＝12时，两条直线斜率的乘积为－1，从而可得两条直线垂直；当m＝－2时，两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，但两条直线仍然垂直，因此m＝12是题目中给出的两条直线相互垂直的充分不必要条件．答案B数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法考点二：运算需要型[审题导引](1)配方，转化为二次函数求值域；(2)转化为求g(x)在[0,3]上的值域问题．【例2】(2012·鞍山一中高三模拟)已知函数f(x)＝3－xx2＋2x＋1，g(x)＝13ax3－a2x(a≠0)，(1)当x∈[0,3]时，求f(x)的值域；(2)对任意的x1，x2∈[0,3]，总存在x3∈[0,3]，使f(x1)＋f(x2)＝g(x3)成立，求实数a的取值范围．数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法[规范解答](1)f(x)＝－x＋1＋4x＋12＝41x＋12－1x＋1＝41x＋1－182－116，∵0≤x≤3，∴14≤1x＋1≤1.∴0≤f(x)≤3，∴f(x)的值域为[0,3]．(2)f(x1)＋f(x2)的范围是[0,6]，则y＝g(x)的值域包含[0,6]．∵g(x)＝13ax3－a2x，∴g′(x)＝ax2－a2＝a(x2－a)，x∈[0,3]，数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法当a＜0时，g′(x)＜0，g(x)在[0,3]上单调递减，∴g(x)≤g(0)＝0.∴不合题意．当0＜a＜9时，令g′(x)＞0，a＜x≤3，g′(x)＜0,0≤x＜a，∴g(x)在[0，a)上单调递减，在[a，3)上单调递增，显然g(a)＜g(0)＝0，由题意可知，g(3)≥6，即a2－3a＋2≤0，解得1≤a≤2，∴1≤a≤2.当a≥9时，g′(x)≤0，∴g(x)在[0,3]上单调递减，g(x)≤g(0)＝0，∴不合题意．综上，1≤a≤2.数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法【规律总结】运算需要分类讨论的类型分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中分母是否为0；解方程、不等式中的恒等变形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于1；数列运算中对公差、公比限制条件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释，就要进行分类讨论．数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法【变式训练】2．在等比数列{an}中，已知a3＝32，S3＝92，求a1与q.解析当q＝1时，a1＝a2＝a3＝32，S3＝3a1＝92，显然成立；当q≠1时，由题意，得a1q2＝a3＝32，a11－q31－q＝S3＝92.∴a1q2＝32，a11＋q＋q2＝92，①②数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法由①②，得1＋q＋q2q2＝3，即2q2－q－1＝0，∴q＝－12或q＝1(舍去)．当q＝－12时，a1＝a3q2＝6.综上可知，当q＝1时，a1＝32；当q＝－12时，a1＝6.数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法考点三：图形或实际意义变化型【例3】抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的P点的个数为A．2B．3C．4D．6[审题导引]根据题意讨论P点的位置，确定其满足题设条件的个数．数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法[答案]C[规范解答]当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在．事实上，F(p,0)，若设P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝x－p2＋y2，若x－p2＋y2＝p，则有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，不构成三角形．当x＝－2p时，与点P在抛物线上矛盾．所以符合要求的P点一共有4个．故选C.数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法【规律总结】图形变化引起分类讨论的类型本题的分类讨论是由于点P的位置变化而引起的．一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；立体几何中点、线、面的位置变化等．数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法【变式训练】3．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是________．解析根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：(1)底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a如图(1)，数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图(2)，此时a＞0且a＜4，即0＜a＜4.综上分析可知a∈(0,4)．答案(0,4)此时a可以取最大值，可知AD＝3，SD＝a2－1，则有a2－1＜2＋3，即a2＜8＋43＝(6＋2)2，即有a＜6＋2，又2a＞2，∴1＜a＜6＋2；图(1)图(2)数学(理科)自主学习导引高频考点突破名师押题高考菜单第一部专题八数学思想方法名师押题高考【押