无穷小量与无穷大量

无穷小量和无穷大量1.无穷小量例如：当0x时，xsin和xtan是无穷小量；当xx时，xx是无穷小量；当x时，)1(aax是无穷小量；当x时，21x是无穷小量。定义1若0limX，则称X为该极限过程中的无穷小量，简称无穷小。注意①无穷小量是以0为极限的变量；②无穷小量不一定是零，零作为函数来讲是无穷小量；③讲一个函数是无穷小量，必须指出自变量的变化趋向；④任何非零常数，不论其绝对值如何小，都不是无穷小量。因为非零常数的极限是其本身，并不是零。有限个无穷小量的代数和是无穷小量；有限个无穷小量的乘积是无穷小量。无穷小量的性质:性质1：若YX,都是无穷小量，则YXYX,也是无穷小量；注意：无限个无穷小量的和与积不一定是无穷小量。例如：1)111(lim个nnnnn。即有界变量与无穷小量的积是无穷小量。性质2若X是无穷小量，Y是有界变量，则YX是无穷小量。定理1AXlimAX，其中0lim，A为常数。例．求下列极限错！错！（1）xxx1sinlim0；（2）xxxarctanlim。（1）错解：01sinlimlim1sinlim000xxxxxxx；∴01sinlim0xxx。（2）解：∵01limxx，而2arctanx，∴0arctanlimxxx。正解：∵0lim0xx，而11sinx，2.无穷大量定义1设)(xf在)(xN内有定义，若0G，0，xx0时，恒有Gxf)(，则称当xx时，)(xf为无穷大量，记为)(limxfxx，或)(xf)(xx。若将上述定义中的不等式Gxf)(改为Gxf)(或Gxf)(，则称当xx时，)(xf为正无穷大量或负无穷大量，记作)(limxfxx或)(limxfxx.)(,0,0,0)(limGxfxxGxfxx恒有.)(,0,0,0)(limGxfxxGxfxx恒有.)(,0,0,0)(limGxfxxGxfxx恒有无穷大量、正无穷大量和负无穷大量列表对比如下：例如，当2x时，xtan是无穷大，记作xxtanlim2；当x时，xe是正无穷大，记作xxelim；当0x时，xln是负无穷大，记作xxlnlim0。①说一个函数)(xf是无穷大，必须指明x自变量的变化趋势。如x1是当0x时的无穷大，但当x，x1就不是无穷大，而是无穷小了。②无穷大是指绝对值可以无限变大的变量，绝不能与任何一个绝对值很大的常数如100010，10001000等混为一谈。注意例如：xxxf212)(，xxg2)(，)(limxfx，)(limxgx，它们都是无穷大量，但021lim)]()([limxxgxfxx是无穷小量。又如：xxxfcos2)(，xxg2)(，)(limxfx，)(limxgx，它们都是无穷大量，但xxgxfxxcoslim)]()([lim不存在。问：两个无穷大量的和是否是无穷大量？答：不一定。无穷小量与无穷大量的关系:性质6若Xlim，则01limX；反之，若)0(0limXX，则X1lim。例如，xxelim，0limxxe；0sinlim0xx，xxsin1lim0。例.求极限23lim22xxxx错解：010)2(lim)3(lim23lim22222xxxxxxxxx。正解：∵0100)3(lim)2(lim32lim22222xxxxxxxxx，∴23lim22xxxx。例.求下列极限（1）357243lim32xxxxx)(型解：0357243lim357243lim323232xxxxxxxxxxx；（2）243357lim23xxxxx)(型解：243357lim23xxxxx。※若000ba，Nnm,，则.,0,,,,lim00110110nmnmnmbabxbxbaxaxammmnnnx当当当定义3：设0limX，0limY，且0Y，（1）若0limYX，则称YX是的高阶无穷小量，记为)(YoX；而称XY是的低阶无穷小量。（2）若0limkYX，则称YX与是同阶无穷小量，记为)(YOX；（3）若1limYX，则称YX与是等价无穷小量，记为X～Y；（4）若)0,0(limkLLxXk，则称0x时，的是xXk阶无穷小量。无穷小量阶的比较:例如：∵0lim30xxx，∴当0x时，)(3xox。∵21cos1lim20xxx，∴当0x时，)(cos12xOx，的且是x二阶无穷小量。∵1sinlim0xxx，∴xsin～)0(xx；∵1tanlim0xxx，∴xtan～)0(xx；∵21cos1lim20xxx，∴xcos1～)0(212xx；∵1arcsinlim0xxx，∴xarcsin～)0(xx；∵1arctanlim0xxx，∴xarctan～)0(xx；∵nxxnx111lim0，∴11nx～)0(xnx。定理2（1）若X～Y，则)()(YoXoYX；（2）若X～Y，且)(limZY存在，则)(lim)(limZYZX。证明：（1）∵011]1[limlimXYXYX，∴)(XoYX（同理可证得)(YoYX）。（2）)(lim)(limlim)(lim)(limZYZYYXZYYXZX。定理表明：两个等价无穷小量YX与之差是比)(YX或高阶的无穷小量；在乘积的极限运算中，等价的无穷小因子可以互相代换。例．求下列极限：（1）求xxxxxarctantansinlim20；错解：0limarctantansinlim2020xxxxxxxxxx。正解：xxxxxxxxxx2020)cos1(tanlimarctantansinlim21)21(lim320xxxx。解：xxxnxxxxnx2)(1lim2sin11lim2020nnxx2121lim0。解：mnxmnxxxxx00lim)(arcsin)sin(lim.,,1,0mnmnmn等价无穷小量（2）xxxnx2sin11lim20；（3）mnxxx)(arcsin)sin(lim0（4）)cos1(cos1lim0xxxx；解：)cos1)(cos1(cos1lim)cos1(cos1lim00xxxxxxxxx)cos1(cos1lim210xxxx.21)(2121lim21220xxxx例．当0x时，)24arcsin(2x是的几阶x无穷小？解：∵当0x时，)24arcsin(2x～]141[22422xx～2244212xx，∴414lim)24arcsin(lim220220xxxxxx，∴当0x时，)24arcsin(2x是的x2阶无穷小。