小波分析理论及其应用-3

小波分析的应用小波分析在数值分析中的应用•背景：在数值分析中常用以下的数值方法（优势、存在的问题）有限差分法有限单元法边界单元法域型解法边界型解法算法统一通用的标准软件大规模工程计算优势插值形函数较为单一（常为常数、线性、二次等单元）在解决裂纹问题、多介质问题时，处理较为困难（常引入奇异单元等）局部效应的存在纤维基体应力与位移的不连续纤维增强复合材料各类裂纹问题裂纹应力奇异均质各向同性或其它材料界面边缘效应复合材料层合板中心裂纹边缘裂纹1、计算实例a/bCracktypes0.10.20.30.40.50.60.7centralcrack1.8431.8971.9942.1362.3402.6232.960symmetricedgecrack2.0132.0522.1062.1982.2692.3582.519stressintensityfactorsfromdifferentratiovaluesofa/bstressintensityfactorsfromdifferentratiovaluesh/bh/bcracktype0.70.80.911.533centralcrack2.4902.3492.2332.1361.9941.9321.932stressintensityfactorofdifferentmethodscracktypesmethodcentralcracksymmetricedgecrackWavelet-NumericalMethod2.1362.198analysis-variationalmethod2.1602.242Boundarycollocationmethod2.1272.1800()(****dspupudsupupnsnsssnsnsss0()(****dspupudsupupnnnsnssnnsnskjskksc)2(kjnkksc)2(kjskksd)2(kjnkksd)2(us(s)=un(s)=ps(s)=pn(s)=2、Wavelet-BoundaryElementMethodP力学实际模型Theweightedcoefficientsandgausspointsidxxfm)((x)0niiW0=f(xi)iWixi10.238882430602541.2932592416939620.472606364349551.9999705383611930.238910472920682.7066841327522140.024803527692763.381756234983860.024803516632560.618199238687560i0-0.00088817841970-0.213162820728031-0.001998401444330.1705302565824220.33217872896785-0.0568434188608130.00532907051820040.035527136788010)10(12iR)10(125iRerror误差表数值结果0.00.20.40.65.86.06.2-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6R=1.15R=1.20R=1.30R=1.50Ps0.00.20.40.65.86.06.2295.2295.4295.6295.8296.0296.2296.4296.6296.8R=1.15R=1.20R=1.30R=1.50Pn3.小波在摄动问题中的应用奇异摄动问题来源于流体力学、弹性力学、量子力学、声学、光学、最优控制等重要领域，其特性是，在微分方程中含有摄动参数，这种参数可以是反映一定的物理性质而自然出现，也可以是人为的引进。这些问题一般不能求出它的精确解。为了得到问题的解，一是可以用所谓的渐进方法求其近似解，二是可以用奇异摄动问题的数值方法求其数值解，并且数值方法比渐进方法更加有效。然而用古典的数值方法（如差分方法、通常的有限元方法）往往会遇到一些困难，如非物理性的数值震荡。因此必须寻找适应此类问题特征的新方法。数值算例（DDE)其中：);(''xy)(xa));(('xy)(xb);(xy)(xf.10x10)(0.1);(xy)(x)(1x);1(y-00.20.40.60.810.811.21.41.61.822.22.42.62.8XY00.20.40.60.810.511.522.533.5XY数值结果Thegraphofy(x,),=0Thegraphofy(x,),=0。700.20.40.60.810.811.21.41.61.822.22.42.62.8XYThegraphofy(x,),=1.000.20.40.60.81-4-20246810XYThegraphofy(x,),=1.5数值结果00.20.40.60.81-4-3-2-10123456XY00.20.40.60.81-10-505XYThegraphofy(x,),=2.0Thegraphofy(x,),=2.5数值结果0.30.7()0.51yxxx奇异性位置与奇异性阶的数值探测在x=0.5时，Lip奇异性指数为0.3在x=1，奇异性指数为0.7小波变换（Db2小波）连续小波变换（Db2)0.7()1yxx奇异性阶的数值探测在x=1，奇异性指数为-0.7函数图形连续小波变换（Haar小波）连续小波变换(DaubechiesN=7)连续小波变换(CoifN=5)数值结果（Lip指数）0.360.360.36000.50.750.48250.50.950.49590.9-0.15-0.150.9-0.35-0.35-0.50.5-0.48891|0.5|,[0,0.5]()1|0.5|,(0.5,1.0]xxfxxx信号与图象处理图像分解分解图像的重构图像的压缩信号与图像的去噪05001000150020002500-505101520253005001000150020002500-5051015202530含噪bumps信号去噪后bumps信号Lenna噪声图像去噪后的图像图像融合图像边缘提取方法•微分算子法：Prewitt、Sobel和Krisch算子拉普拉斯高斯算子法、Canny算子法•基于小波变换的边缘检测方法：–小波选取–二进小波变换–模极大值检测12222(,)(,)(,)jjjWfxyWfxyWfxy2212222(,)(,)(,)jjjMfxyWfxyWfxy22122(,)(,)atan()(,)jjjWfxyAfxyWfxy实验结果原始图像尺度下的边缘图像尺度下的边缘图像1222分行列检测得到的边缘图像Canny算子检测的边缘图像信息隐藏与水印提取小波分析的实现平台——MATLAB