高中数学椭圆双曲线抛物线考点精讲

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere1专题椭圆双曲线抛物线考点精要1．掌握椭圆、抛物线的定义、图形和性质，会求椭圆、抛物线的方程．2．了解双曲线的定义、标准方程、几何性质．3．掌握直线和圆锥曲线的位置关系，会处理由此产生的系列问题．4．理解曲线与方程的对应关系，会求曲线方程和由曲线方程画出曲线图形．热点分析1．圆锥曲线的方程和简单的几何性质是最基础知识点，在试卷中会出一道选择或填空题，试题难度为容易题．侧重点是圆锥曲线的标准方程和简单的几何性质．2．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能．3．注意解答题往往分步设问，由易到难，侧重点是直线和椭圆、抛物线的位置关系．知识梳理一、椭圆定义到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹1212||||2(2||)PFPFaaFF顶点（±a,0）,（0,±b）（0,±a）,（±b,0）焦点(,0)Fc(0,)Fc长轴2a2a短轴2b2b焦距2c22cab通经长ab22ab22离心率e=ca0e1.且e越接近1，对应椭圆越扁；e越接近于0，越接近于圆更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere2二、双曲线1．从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于b.2．共渐进线双曲线系：与22221xyab共渐进线的双曲线方程是22xa－22yb=λ（λ≠0）定义到两个定点距离之差的绝对值等于定值的点的轨迹1212||||||2(2||)PFPFaaFF标准方程22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab顶点（a,0）,（a,0）（0,a）,（0,a）焦点F1（c,0）,F2（c,0）,F1（0,c）,F2（0,c）.焦距2c22cab离心率e=cae1.对称性:对称轴为x=0,y=0;对称中心为O（0,0）实轴长2a虚轴长2b渐近线y=bax;y=abx更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere3双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.3．双曲线方程中化1为0，因式分解可得渐进线方程4．等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，2e.5．直线与双曲线仅有一个交点的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.三、抛物线定义到定点的距离与到定直线的距离之比等于1的点的轨迹方程pxy22pxy22pyx22pyx22图形焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线2px2px2py2py范围0,xyR0,xyR,0xyR,0xyR对称轴x轴y轴顶点（0，0）离心率1e通经2p焦半径12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF1．抛物线22ypx中p的几何意义是焦点到准线的距离，恒正；焦点坐标、准线方程与2p相关，是一次项的四分之一更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere42．注意抛物线焦点弦的特点：如22ypx中22121212,,4pyypxxABxxp3．注意抛物线弧与双曲线弧的区别．例题精讲例1．若直线10axy经过抛物线24yx的焦点，则实数a．例2.已知圆C的圆心与抛物线xy42的焦点关于直线xy对称.直线0234yx与圆C相交于BA,两点，且6AB,则圆C的方程为.例3.已知F1、F2为椭圆192522yx的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点。若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=。例4（08北京19）已知菱形ABCD的顶点AC，在椭圆2234xy上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点(01)，时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当60ABC时，求菱形ABCD面积的最大值．答案解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为1yx．因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD．于是可设直线AC的方程为yxn．由2234xyyxn，得2246340xnxn．更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere5因为AC，在椭圆上，所以212640n，解得434333n．设AC，两点坐标分别为1122()()xyxy，，，，则1232nxx，212344nxx，11yxn，22yxn．所以122nyy．所以AC的中点坐标为344nn，．由四边形ABCD为菱形可知，点344nn，在直线1yx上，所以3144nn，解得2n．所以直线AC的方程为2yx，即20xy．（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且60ABC，所以ABBCCA．所以菱形ABCD的面积232SAC．由（Ⅰ）可得22221212316()()2nACxxyy，所以234343(316)433Snn．所以当0n时，菱形ABCD的面积取得最大值43．例5（08全国221）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)AB，，，是它的两个顶点，直线)0(kkxy与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．（Ⅰ）若6EDDF，求k的值；更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere6（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．答案（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214xy，直线ABEF，的方程分别为22xy，(0)ykxk．·····································2分如图，设001122()()()DxkxExkxFxkx，，，，，，其中12xx，且12xx，满足方程22(14)4kx，故212214xxk．①由6EDDF知01206()xxxx，得021221510(6)77714xxxxk；由D在AB上知0022xkx，得0212xk．所以221012714kk，化简得2242560kk，解得23k或38k．································································································6分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点EF，到AB的距离分别为21112222(1214)55(14)xkxkkhk，22222222(1214)55(14)xkxkkhk．······························································9分又2215AB，所以四边形AEBF的面积为121()2SABhh214(12)525(14)kk22(12)14kkDFByxAOE更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere722144214kkk22≤，当21k，即当12k时，上式取等号．所以S的最大值为22．·················12分解法二：由题设，1BO，2AO．设11ykx，22ykx，由①得20x，210yy，故四边形AEBF的面积为BEFAEFSSS△△222xy···················································································································9分222(2)xy22222244xyxy22222(4)xy≤22，当222xy时，上式取等号．所以S的最大值为22．12分例6（本小题满分14分）椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，长轴端点与短轴端点间的距离为5．（I）求椭圆C的方程；（II）设过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于,EF两点，O为坐标原点，若OEF为直角三角形，求直线l的斜率．解：（I）由已知,5,2322baac………………3分又222cba，解得,1,422ba更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere8所以椭圆C的方程为.1422yx………………………………5分（II）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设.4:kxyl联立，41422kxyyx，消去y得06032)41(22kxxk，…………6分24064)41(240)32(222kkk，令0，解得.4152k………………………………………………7分设E、F两点的坐标分别为),(),,(2211yxyx，（i）当∠EOF为直角时，则2212214160,4132kxxkkxx，…………………………8分因为∠EOF为直角，所以0OFOE，即02121yyxx，………………9分所以016)(4)1(21212xxkxxk，所以04413241)1(152222kkkk，解得.19k………………11分（ii）当∠OEF或∠OFE为直角时，不妨设∠OEF为直角，此时，1kkOE，所以141111xyxy，即211214yyx……①…………12分又142121yx…………②将①代入②，消去x1得,0443121yy解得321y或21y（舍去），……………………13分将321y代入①，得,5321x所以5411xyk，………………14分更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere9经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为19和.5例7已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60xy相切．⑴求椭圆C的方程；⑵设(4,0)P，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；【解析】⑴由题意知12cea，所以22222214cabeaa．即2243ab．又因为6311b，所以24a，23b．故椭圆C的方程为22143xy．⑵由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为(4)ykx．由22(4),1.43ykxxy