19.1.2矩形的判定

19.1.2矩形的判定一个角是直角有的平行四边形叫做矩形矩形平行四边形矩形的两条对角线相等且互相平分矩形的对边平行且相等矩形的四个角都是直角边对角线角矩形的定义矩形的性质一个角是直角知识回顾一天,小丽和吴娟到一个商店准备给今天要过生日的肖华买生日礼物,选了半天,她们俩最后决定买相框送给她,在里面摆放她们三个好朋友的相片,为了保证相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么她们是用什么方法可以知道她们拿的就是矩形相框呢?情境引入思考：小丽和吴娟是怎样知道所买的相框是矩形的呢?方法：通过测量四个角是直角矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.思考：你还有其它的判定方法吗？∠A=900四边形ABCD是矩形ABCD新知学习有三个角是直角的四边形是矩形。已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.求证:四边形ABCD是矩形.∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是矩形.DBCA∟∟∵∠A=90°(或∠B=90°、或∠C=90°）。猜想论证矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形∠A=∠B=∠C=90°四边形ABCD是矩形论证归纳思考：除上面判定方法之外,还有什么其他方法可以判定这个相框是矩形。证明：OABCD在ABCD中AB=DC,BD=CA,AD=DA∴△BAD≌△CDA(SSS)∴∠BAD=∠CDA∵AB∥CD∴∠BAD+∠CDA=180°∴∠BAD＝90°∴四边形ABCD是矩形对角线相等的平行四边形是矩形。四边形ABCD是平行四边形,AC=BD四边形ABCD是矩形已知:求证:（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）猜想论证矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形AC=BD∴四边形ABCD是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）ABCDO（或OA=OC=OB=OD）论证归纳知识点由直角的个数判定矩形方法一(定义判定)：有一个角是直角的平行四边形是矩形；方法二(角判定)：有三个角是直角的四边形是矩形；1矩形的判定方法：由对角线的关系判定矩形知识点2方法三(对角线判定)：对角线相等的平行四边形是矩形；或对角线相等且互相平分的四边形是矩形．（1）矩形具有而平行四边形不具有的性质（）（A）内角和是360度（B）对角相等（C）对边平行且相等（D）对角线相等（2）下面性质中，矩形不一定具有的是（）（A）对角线相等（B）四个角相等（C）是轴对称图形（D）对角线垂直DD一.选择题课堂练习二.判断题•对角线相等的四边形是矩形。（）•对角线互相平分且相等的四边形是矩形。（）•有一个角是直角的四边形是矩形。（）•四个角都是直角的四边形是矩形。（）•四个角都相等的四边形是矩形。（）•对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。（）课堂练习例1：已知，如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证四边形EFGH是矩形．证明：∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等)AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）∵AE=BF=CG=DH∴OE=OF=OG=OH∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵EO+OG=FO+OH即EG=FH∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）BCDEFGHOA例题精讲例2如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点.求证:四边形BMDN是矩形.例题精讲证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形，∴∠ADB＝∠CDB＝60°.又∵M、N分别为BC、AD的中点，∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM＝30°，∴∠DNB＝∠DMB＝90°，∠MDN＝∠ADB＋∠BDM＝90°,∴四边形BMDN是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).（第2题）1．如图，平行四边形ABCD中，∠1=∠2.求证：四边形ABCD矩形证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO,BO=DO（平行四边形对角线互相平分）∵∠1=∠2∴AO=BO（等角对等边）∴AC=BD∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）综合运用2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,BC=8,AC=10.求证四边形ABCD是矩形.（第1题）证明：∵AB=6,BC=8,AC=10且62+82=102∴AB2+BC2=AC2∴∠B=900（勾股定理逆定理）∵ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)综合运用3.如图，△ABC中，AB=AC,AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线，BE⊥AE.求证：AB=DE。（第2题）证明：∵AB=AC,AD平分∠BAC∴AD⊥BC,∠1=∠BAC/2(等腰三角形三线合一）∵AE平分∠BAF∴∠2=∠BAF/2∵∠BAC+∠BAF=1800∴∠1+∠2=(∠BAC+∠BAF)/2=900∵BE⊥AE∴∠BDA=∠DAE=∠BEA=900∴四边形BDAE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）12F综合运用4.已知：如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形．∴∠BGC=90°同理可证∠AFB=∠AED=90°∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形)证明：∵AB∥CD∴∠ABC＋∠BCD=180°∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD综合运用•1、判定矩形的方法有哪些？（学生小结）：•（1）一个角是直角的平行四边形•（2）有三个角是直角的四边形•（3）对角线相等的平行四边形注：矩形的判定定理（1）、（3）的两个条件：①是平行四边形，②有一个角是直角或对角线相等．判定方定理(2)的两个条件是：①是四边形，②有三个直角——是矩形。课堂小结