2.2-二次函数的图像与性质第二课时

2.2二次函数的图像和性质第二章二次函数第二课时下面接着讨论y=ax²，y=a（x-h）²的二次函数的图像和性质.画出二次函数y=2（x-1）²的图像.用心做一做①完成下表:x-4-3-2-101234y=2（x-1）25032188202818观察上表你能发现2（x-1）²与2x²的值有什么关系？xy0-4-3-2-11234108642-2y=2(x-1)2②在直角坐标系中描点③用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=2(x-1)²的图像y=2x2二次函数y=2(x-1)²的图像与y=2x²的图像有什么关系？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随x值增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？类似y=2（x+1）²的图像与y=2x²有什么关系呢？y=2(x-1)2y=2x2xy0-2-11234108642y=2(x+1)2二次函数y=2x²，y=2（x-1）²，y=2（x+1）²的图像都是抛物线并且形状相同，只是位置不同.将函数y=2x²的图像向右平移1个单位长度就得到函数y=2（x-1）²的图像；将函数y=2x²的图像向左平移1个单位长度，就得到函数y=2（x+1）²的图像.由函数y=2x²，你能得到二次函数y=2x²-1/2，y=2（x+3）²-1/2的图像，你是怎样得到的？与同伴交流.二次函数y=a（x-h）²+k与y=ax²的图像有什么关系？一般地，平移二次函数的图像便可得到二次函数的图像.因此，二次函数的图像是一条抛物线，它的开口方向，对称轴和顶点坐标如下表所示：议一议开口方向对称轴顶点坐标y=a（x-h）²+k向上（a0）直线x=h（h，k）向下（a0）当x0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而增大.抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.xy0y=ax2(a0)y=a（x-h）²+k（a0）xy0对称轴x=h顶点(h,k)xh,y随x的增大而减小xh,y随x的增大而增大1.对于二次函数y=-3（x+2）²，（1）它的图像与y=3x²的图像有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴，和顶点坐标分别是什么？（2）当x取哪些值的时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值的时，y的值随x值的增大而减小？2.指出下列二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证：（1）y=2（x-3）²-5；（2）y=-0.5（x+1）²;（3）y=-3/4x²;（4）y=2（x-2）²+5;（5）y=-0.5（x+4）²+2;（6）y=--3/4（x-1）².我们已经认识了形如y=a（x-h）²+k的二次函数的图像和性质，你能研究二次函数y=2x²-4x+5的图像和性质吗？化成y=a（x-h）²+k的形式呗解:y=2(x-1)2+1所以函数图像开口向上；顶点坐标x（1,1）,对称轴x=1.求二次函数y=2x2-8x+7图像的对称轴和顶点坐标.化成y=a（x-h）²+k的形式呗解:y=2x2-8x+7=2(x2-4x)+7=2(x2-4x+4)-8+7=2(x-2)2-1因此二次函数=2x2-8x+7图像开口向上；对称轴x=2，顶点坐标x（2,-1）.例1配方后的表达式通常称为配方式或顶点式cbxax2yabacabxacaa44)2(xbx222）（例2解:把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得求二次函数y=ax2+bx+c图像的对称轴和顶点坐标.因此对称轴为顶点坐标是abx2-.442-2），（abacab这个结果通常称为求顶点坐标公式.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值根据图形填表：抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacabx44,22最小值为时当abacabx44,22最大值为时当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质如下表所示用心做一做1.确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标：（1）y=3x2-6x+7；（2）y=2x2-12x+8.101094009y2xx⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？Y/mx/m桥面-505102.如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称．老师提示:结合二次函数的图像和性质，灵活运用顶点坐标公式.书本P41习题2.5第3，4题数学的本质在於它的自由.——康扥尔