12第12讲 基于根轨迹的控制系统性能分析

基于根轨迹分析及其基于根轨迹分析及其扩展的根轨迹扩展的根轨迹邹斌单位：上海大学机电工程与自动化学院地址：上海市延长路149号电子邮件:[e-mail]电话：[phone]主要内容基于根轨迹的系统性能基于根轨迹的系统性能分析分析参数根轨迹参数根轨迹正反馈根轨迹正反馈根轨迹基于根轨迹分析的基本思路系系统的闭系统性系统的开环零、根轨闭环极性能零极点位置轨迹极点位置位置根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能从根轨迹看系统的稳定性从根轨迹看系统的动态性能根轨迹是否进入s平面的右半平面？从根轨迹看系统的动态性能是否有虚根虚根考察系统是否振荡振荡是否有虚根虚根考察系统是否振荡振荡主导极点的角角观察超调量超调量，主导极点离虚轴距离考察调节时间调节时间离虚轴距离考察调节时间调节时间从根轨迹看系统的稳态性能系统的型号？开环增益的大小？分析例子1系统开环传递函数为2(1)()(1)(416)KsGHs系统开环传递函数为2(1)(416)ssss求系统稳定的K值范围求系统稳定的K值范围。稳定的范围为：23.335.7K特征点的计算渐渐近线分分离点＝0点045226076216j＝0123,40.45,2.26,0.762.16sssj特征点的计算35203KsK辅助方程：特征点的计算32.56,35.7sjK结果：432312(16)0sssKsK特征方程1.56,23.3sjK与虚轴的交点312(16)0sssKsK特征方程S4112K交点S4112KS33K-16052KS2K0523K1259832KKS10052KS0K00使得s1列第一项等于零的K值为：K=35.7,K=23.3分析例子2控制系统的动态结构图如图分析系统振荡与不振荡的K值范围控制系统的动态结构图如图，分析系统振荡与不振荡的K值范围。分析例子20K1.852，一对共轭复根与一个闭环实根个闭环实根1.852k2，三个闭环实根K2，一对共轭复根与一个闭环实根附加开环零点对根轨迹的影响在控制系统设计中有时为改善系统的性能而增设零)()(k)()(点，由此给根轨迹带来明显的改变。)(180)12(mnka渐近线与实轴倾角随着数增大而增加)()(mnzpiia渐近线与实轴交点随着增大点在实轴m数增大而增加根轨迹向左方向弯曲Zc增大（Zc点在实轴上向右移）而左移提高了系统的相对稳定性提高了系统的相对稳定性K)22()()(21sssKsHsG12()()()(22)KszGsHssss渐近近线0z21zz3z附加极点对根轨迹的影响附加极点对根轨迹的影响开环传递函数上附加极点开环传递函数上附加极点)(180)12(mnka)()(mnzpiia渐近线与实轴倾角随着n数增大而减小渐近线与实轴交点随着pc增大（pc点在实轴上向右移）而右移故更靠近原点n数增大而减小而右移，故更靠近原点。向右弯曲趋势随着所增加降低了系统的相对稳定性根轨迹向右方向弯曲的极点移近原点而加剧降低了系统的相对稳定性增加开环极点的影响2cp1cp右移极点增加一个极点的情况增加个极点的情况开环偶极子开环偶极子距离原点较远幅值条件和幅角条件中的作用相互抵消；对离其较远的近虚轴区域的根轨迹形状和开环增益几乎没有影响，基本上不影响系统静动态性能。开环偶极子位于原点附近开环偶极子位于原点附近幅角条件和幅值条件中作用也基本抵消。零极点自身比值/较大cmiizzKK1'零极点自身比值zc/pc-较大影响系统的开环增益、改变稳态误差。cniiippKK11提高系统开环增益10倍01.0cp1.0cz提高系统开环增益10倍参数根轨迹以系统中任意一个参数任意一个参数（开环零点开环极点以系统中任意个参数任意个参数（开环零点、开环极点、时间常数、反馈比例系数等）绘制的根轨迹。研究参数根轨迹的目的分析参数变化对系统性能的影响m0)()(1)(1)()(11sDsNKzsKsHsGnmii常规根轨迹方程)()(1sDpsnii迹方程：参数根轨将参数位置调整到根轨迹增益的位置，再绘制根轨迹！迹原理置，再绘制根轨迹！调整的结果必须保证特征方程不变！系统的开环传递函数为()s2()()()(22)sGsHssss绘制以α为参数的参数根轨迹，并讨论α值对系统稳定性的影响。解：（1）以α为参量的等效开环传递函数()系统特征方程2()10(22)ssss22(22)()0ssss2(22)0ssss等效开环等效开环传递函数210(22)ssss2'()'()(22)(12)(12)GsHsssssssjsj开环极点21210221jpjpp等效开环传递函数中的等效是闭环特方相极点相特征方程相同；也即，闭环极点相同！同！两个系统的根轨迹是相同的！两个系统的根轨迹是相同的！特征点的计算实轴上的根轨迹0,渐近线渐近线)1,0(180,60180)12(0qmnqmna32030)21()21(011jjmnzpmiiniia＝303mn根轨迹与虚轴的交点:特征方程03223sss331s00622劳斯表12062s006062222ss交点为73.13js0102ss出射角:s出射角:niijmiijjpppzpk11)()()12(＋＝ji3090)73.1180(1800arctg对于-1+j1.73处的极点有3090)73.1180(180arctg对于-1-j1.73处的极点有30)270()731180(18030arctg30)270()73.1180(1803arctg21.5205100.5magAxis-1-0.5Im-1.51-2-1.5-1-0.500.511.52-2RealAxis多回路根轨迹根轨迹不仅适合于单回路,也适用于多回路。)(C)(R)()2(1ssK)(sC)(sR)(sEs系统的开环传递函数KsCsG1)()(系统的开环传递函数SKsssEsG1)2()()(系统特征方程0)2(11KSKss系统特征方程)(110)2(11KssSK以α为参数)2(1Kss684650K02gAxis20K-2Imag10K-6-4-9-8-7-6-5-4-3-2-101-8RealAxis1.首先确定参数K的值，绘制的参数根轨迹2.确定一系列不同的K值，得到根轨迹族正反馈和零度根轨迹馈零度迹＋正反馈回路的闭环传递函数)()(1)()()(1sHsGsGsRsC)()(1)(1sHsGsR特征方程0)()(1sHsG幅值条件幅角条件（k=0,1,2,…）1pszsKnm1ii'niimiikpszs112)()(幅角条件（,,,）ps1ii绘制正反馈系统根轨迹的基本规则（1）、根轨迹的分支数(相同)（2）、根轨迹的起点和终点(相同)（）根轨迹的对称性相同（3）、根轨迹的对称性(相同)（4）、实铀上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开环实零极点数目之和相应为偶数(0也视为偶数)环实零、极点数目之和相应为偶数(0也视为偶数)。（5）、根轨迹的渐近线：根轨迹渐近线与实袖的交点(相同)根轨迹渐近线与实袖的交点(相同)2k根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为、、、2101802kmnka（6）根轨迹的会合点和分离点(相同)（6）、根轨迹的会合点和分离点(相同)nm（7）、根轨迹的出射角和入射角jiiijiijjpppzpk11)()(2＋＝jmijnijjzzzpzk)()(2＋＝jiii11210k、、、210k（8）、根轨迹与虚轴的交点(相同)（9）、闭环极点的和与积(相同)例控制系统方框图如下所示例控制系统方框图如下所示0K)(sC)(sR)1(0ssK131s系统为正反馈，绘制根轨迹图。解（1）开环传递函数)()(0KsHsG解：（1）开环传递函数)3)(1()()(11ssssHsG（2）根轨迹的分支数3（4）实轴上的根轨迹]13[]0[（3）根轨迹的起点0，-1，-3终点均为∞（4）实轴上的根轨迹]1,3[],0[（5）根轨迹的渐近线（5）根轨迹的渐近线10120,01802、kmnka3403)3()1(011zpmiiniia＝303mna（6）根轨迹的分离点特征方程034023Ksss20Kd038320sssdKd舍去）(45.022.221ss453412xis-10ImagAx-3-2-5-4-4-3-2-10125RealAxis这些内容需要认真阅读小结这需真阅教材与参考书！基于根轨迹的系统性能分析稳定性：闭环极点在S的左半平面稳定性：闭环极点在S的左半平面动态性能：主导极点的角角观察超调量超调量，主导极点离虚轴距离考察调节时间调节时间离虚轴距离考察调节时间调节时间稳态性能：型号，K参数根轨迹参数根轨迹等效的开环传递函数多参数（多回路）根轨迹多参数（多回路）根轨迹正反馈根轨迹幅角方程等于2k幅角方程等于2k家谢谢大家！谢谢大家！1)(sC)(sR4212ss)()(sRcK6.0sKf1.0s研究以KK为变量的根轨迹研究以KC、Kf为变量的根轨迹系统有两个环，内环的极点就是外环的开环零点！！1）绘制内环的根轨迹图内环的开环传递函数)()(11KsHsGf内环的开环传递函数)42)(6.0()()(211ssssHsG根据根轨迹绘制规则绘制出以K为参数的内环根轨迹图根据根轨迹绘制规则绘制出以Kf为参数的内环根轨迹图323120agAxis-1Ima-2-2-1.5-1-0.500.51-3RealAxisRealAxis2)确定内环的闭环极点2)确定内环的闭环极点假定内环的反馈系数3.2Kf3.5内环的特征方程0)42)(6.0(2fKsss可选Kf=336则求得内环的闭环极点为可选Kf3.36,则求得内环的闭环极点为83.15.083.15.06.1321jpjpp3)绘制外环的根轨迹图外环的开环传递函数外环的开环传递函数)()()(1)()()(2111sHsHsGsGKsHsGc)63)(61()1.0)(6.0()()(2ssKsHsGc)()(111sHsG)6.3)(6.1(2sss1.52100.5agAxis-0.5Ima-1.5-1-2-1.5-1-0.500.51-2RealAxis§4—4滞后系统的根轨迹§44滞后系统的根轨迹)(C)(在自动控制系统中有时会出现纯时间滞后现象se)(sC)(sR)(sG滞后环节的存在使系统的根轨迹具有一定的特殊性对系统的稳定性会带来不利的影响性，对系统的稳定性会带来不利的影响。系统闭环传递函数)()(sGesCs系统闭环传递函数)(1)(sGesRs特征方程0)(1sGes这是一个超越方程，闭环系统的特征根不再是有限个，而是无限多个这是滞后系统的重要特征而是无限多个，这是滞后系统的重要特征。§4—4滞后系统的根轨迹§44滞后系统的根轨迹)(C)(在自动控制系统中有时会出现纯时间滞后现象se)(sC)(sR)(sG滞后环节的存在使系统的根轨迹具有一定的特殊性对系统的稳定性会带来不利的