2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第2章 函数与导数―导数的应用

学案12导数的应用返回目录1.函数的单调性在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0f(x)为;f′(x)≤0f(x)为.减函数增函数返回目录2.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,①如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极大值.②如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x);②求方程的根;f′(x)0f′(x)0f′(x)0f′(x)0f′(x)=0返回目录③考察在每个根x0附近,从左到右导函数f′(x)的符号如何变化.如果左正右负,那么f(x)在x0处取得;如果左负右正,那么f(x)在x0处取得.3.函数的最值(1)在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在［a,b］上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在［a,b］上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.极小值极大值f(a)f(b)f(a)f(b)(3)设函数f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导,求y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在(a,b)内的;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.返回目录极值返回目录考点一函数的单调性与导数已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的单调增区间;(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围;(3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0］上单调递减,在［0,+∞)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.返回目录【解析】f′(x)=ex-a.(1)若a≤0,f′(x)=ex-a≥0恒成立,即f(x)在R上递增.若a0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).(2)∵f(x)在R内单调递增,∴f′(x)≥0在R上恒成立.∴ex-a≥0,即a≤ex在R上恒成立.∴a≤(ex)min,又∵ex0,∴a≤0.【分析】(1)通过解f′(x)≥0求单调递增区间;(2)转化为恒成立问题求a;(3)假设存在a,则x=0为极小值点,或利用恒成立问题.返回目录(3)解法一:由题意知ex-a≤0在(-∞,0］上恒成立.∴a≥ex在(-∞,0］上恒成立.∵ex在(-∞,0］上为增函数.∴x=0时,ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0,+∞)上恒成立.∴a≤ex在［0,+∞)上恒成立.∴a≤1,∴a=1.解法二:由题意知,x=0为f(x)的极小值点.∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1.返回目录【评析】利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f′(x)0(或f′(x)0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］,x∈(a,b)恒成立,且f′(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f′(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间,因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去,若f′(x)不恒为0,则由f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立解出的参数的取值范围确定.＊对应演练＊设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a≥-1,求f(x)的单调区间.由已知得函数f(x)的定义域为（－１，＋∞）,且f′(x)=(a≥－1).(1)当-1≤a≤0时,由f′(x)0知,函数f(x)在(-1，+）上单调递减.返回目录1x1-ax(2)当a0时，由f′（x）=0,解得x=.a1f′（x）,f(x)随x的变化情况如下表：x(-1,)f′（x）-0+f（x）极小值a1a1),1(a返回目录↘↗从上表可知当x∈(-1,)时，f′(x)0,函数f(x)在(-1,)上单调递减.当x∈(,+∞)时,f′(x)0,函数f(x)在(,+∞)上单调递增.综上所述:当-1≤a≤0时,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递减.当a0时,函数f(x)在(-1,)上单调递减,f(x)在(,+∞)上单调递增.a1a1a1a1a1a1返回目录考点二函数的极值与导数已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1，当且仅当x=-1，x=1时取得极值，且极大值比极小值大4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的极大值和极小值.【分析】求出f′(x)，依题意x=-1，x=1是f′(x)=0的两根，得到a,b的方程，并判断出x=-1及x=1时所取的极值是极大值还是极小值，从而建立y极大–y极小=4的方程.联立解出a,b的值和极大、极小值.【解析】(1)f(x)=x5+ax3+bx+1的定义域为R.∴f′(x)=5x4+3ax2+b.∵x=±1时有极值,∴5+3a+b=0.∴b=-3a-5.①将①代入f′(x)得f′(x)=5x4+3ax2-3a-5=5(x4-1)+3a(x2-1)=(x2-1)［5(x2+1)+3a］=(x+1)(x-1)［5x2+(3a+5)］.∵f(x)仅在x=±1时有极值,∴5x2+(3a+5)≠0对任意x成立.∴3a+5＞0,∴a＞.返回目录35返回目录考查f′(x),f(x)随x的变化情况:由此可知，当x=-1时取得极大值;当x=1时取得极小值.∴f(-1)-f(1)=4.即［(-1)5+a(-1)3+b(-1)+1］-(15+a·13+b·1+1)=4.整理得a+b=-3.②a=-1,b=-2.x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)+0-0+极大值极小值↘↗↗)(xf)f(x由①②解得【评析】此题属于逆向思维，仍可根据求函数极值步骤来求，但要注意极值点与导数之间的关系：极值点为f′(x)=0的根，利用这一关系，建立字母系数的方程，使问题转化为含字母系数的方程或方程组问题，通过解方程或方程组确定字母系数.返回目录（2）∵a=-1，b=-2，∴f(x)=x5-x3-2x+1.∴f(x)的极大值f(x)极大=f(-1)=3;f(x)的极小值f(x)极小=f(1)=-1.返回目录＊对应演练＊已知函数f(x)=+aln(x-1),其中n∈N*,a为常数.(1)当n=2时,求函数f(x)的极值;(2)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1.nx)-(11(1)由已知得函数f(x)的定义域为{x|x1},当n=2时,f(x)=+aln(x-1),所以f′(x)=.①当a0时,由f′(x)=0得x1=1+1,x2=1-1,此时f′(x)=.当x∈(1,x1)时,f′(x)0,f(x)单调递减;当x∈(x1,+∞)时,f′(x)0,f(x)单调递增.返回目录2x)-(1132x)-(1x)-a(1-2a2a2321x)-(1)x-)(xx-a(x-返回目录（2）证明:证法一:因为a=1,所以f(x)=+ln(x-1).当n为偶数时,令g(x)=x-1--ln(x-1),则g′(x)=1+=0(x≥2).所以当x∈［2,+∞)时，g(x)单调递增，②当a≤0时,f′(x)0恒成立,所以f(x)无极值.综上所述,n=2时,当a0时,f(x)在x=1+处取得极小值,极小值为f(1+)=(1+ln).当a≤0时，f(x)无极值.a2a22aa2x)-(11nx)-(11n1-x1-1)-(xn1n1-x2-x1n1)-(xn又g(2)=0,因此g(x)=x-1--ln(x-1)≥g(2)=0恒成立，所以f(x)≤x-1成立.当n为奇数时，要证f(x)≤x-1,由于0,所以只需证ln(x-1)≤x-1,令h(x)=x-1-ln(x-1),则h′(x)=1-=≥0(x≥2),所以当x∈［2,+∞)时，h(x)=x-1-ln(x-1)单调递增，又h(2)=10，所以当x≥2时，恒有h(x)0,即ln(x-1)x-1命题成立.综上所述,结论成立.返回目录1)-(x1nx)-(11n1)-(x11-x2-x返回目录证法二:当a=1时,f(x)=+ln(x-1).当x≥2时,对任意的正整数n,恒有≤1,故只需证明1+ln(x-1)≤x-1.令h(x)=x-1-［1+ln(x-1)］=x-2-ln(x-1),x∈［2,+∞).则h′(x)=1-=,当x≥2时,h′(x)≥0,故h(x)在［2,+∞)上单调递增,因此,当x≥2时,h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x-1)≤x-1成立.故当x≥2时,有+ln(x-1)≤x-1,即f(x)≤x-1.x)-(11n1)-(x11-x2-xx)-(11nx)-(11n返回目录考点三函数的最值与导数求函数y=x4-2x2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.【分析】使导数为0的点的函数值与端点处的函数值比较.【解析】先求导数，得y′=4x3-4x.令y′=0，即4x3-4x=0.解得x1=-1，x2=0,x3=1.导数y′的正负以及f(-2),f(2）的值如下表:从上表知，当x=±2时，函数有最大值13;当x=±1时，函数有最小值4.返回目录x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y′-0+0-0+y1345413↘↘↗↗【评析】（1）求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.(2)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值.返回目录返回目录＊对应演练＊已知a为常数，求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.f′(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).若a≤0，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减.∴当x=0时，有最大值f(0)=0.若a＞0，则令f′(x)=0，解得x=±.∵x∈［0,1］,则只考虑x=的情况.如下表所示:aa(1)0＜＜1，即0＜a＜1，当x=时,f(x)有最大值f()=2a.(2)≥1，即a≥1，当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3a-1.综上,当a≤0,x=0时，f(x)有最大值0;当0＜a＜1,x=时,f(x)有最大值2a;当a≥1，x=1时，f(x)有最大值3a-1.返回目录x0(0,)f′(x)+0-f(x)aa2a),(a↗↘aaaaaaaa返回目录考点四最优化问题一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元.问此轮船以多大速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？【分析】由题意构造函数，利用导数求最值.返回目录【解析】设船的速度为x(x＞0)（公里/小时）时,燃料费用为Q元，则Q=kx3.由6=k×103可得k=,∴Q=x3.∴总费用y=(x3+96)·=x2+.∴y′=x-.令y′=0得x=20.当x∈(0,20)时,y′＜0，此时函数单调递减.当x∈(20,+∞)时,y′＞0，此时函数单调递增.∴当x=20时，y取得最小值.∴此轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小.500350035003x15003x9650062x96【评析】(1)用导数解应用题求最值的一般方法是：求导，令导数等于零;求y′=0的根，求出极值点;最后写出解答.（2）在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f′(x)=0,且在两侧f′(x)的符号各异，一般称为单峰问题，此时该点就是极值点，也是最值点.返回目