2011届高考数学二轮复习专题一第2讲函数的图象与性质

要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数第2讲函数的图象与性质要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数要点知识整合1．函数的三要素：对应关系、定义域、值域．实际上只要对应关系和定义域确定了，函数的值域也就确定了，决定函数的是对应关系和定义域．2．函数的表示方法：解析法、图象法和列表法．当一个函数在定义域的不同区间上具有不同的对应关系时，在不同的定义域区间上的函数解析式也不同，就要用分段函数来表示．分段函数是一个函数．要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数3．函数单调性的判定方法(1)定义法：取值，作差，变形，定号，作答．其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解．(2)导数法．(3)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．4．函数奇偶性的判定方法(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)对于定义域内的任意一个x，若都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．若都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数5．周期性周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件：(1)当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)；(2)T是不为零的最小正数．一般地，若T为f(x)的周期，则nT(n∈Z，n≠0)也为f(x)的周期，即f(x)＝f(x＋nT)．6．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数热点突破探究题型一函数的基本概念(1)(2010年高考陕西卷)已知函数f(x)＝2x＋1，x1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a等于()A.12B.45C．2D．9例1典例精析要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是()A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数【解析】(1)f(x)＝2x＋1，x1，x2＋ax，x≥1.∵01，∴f(0)＝20＋1＝2.∵f(0)＝2≥1，∴f(f(0))＝22＋2a＝4a，∴a＝2.故选C.(2)∵y＝f(x)的定义域为[0,2]，∴g(x)的定义域满足0≤2x≤2，x－1≠0，解得0≤x1.【答案】(1)C(2)B要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数【思维升华】(1)求f(g(x))类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解，特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性．(2)求函数的定义域，就是要让函数的解析式有意义．如本题g(x)的定义域除了要符合f(x)的定义域外，还要注意分母不能为0这一条件．要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数1．(1)要使函数f(x)＝|x－2|－1log2x－1有意义，则x的取值范围是()A．[3，＋∞)B．(3，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)(2)已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，当x∈(－3,2)时，f(x)0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)0.则f(x)在[0,1]内的值域为________．变式训练要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数解析：(1)依题意得|x－2|－1≥0，log2x－1≠0，x－10，由此解得x≥3，故选A.(2)由题意得x＝－3和x＝2是函数f(x)的零点且a≠0，则0＝a·－32＋b－8·－3－a－ab，0＝a·22＋b－8·2－a－ab，解得a＝－3，b＝5，∴f(x)＝－3x2－3x＋18.要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数如图所示，由图象知，函数在[0,1]内单调递减，∴当x＝0时，y＝18，当x＝1时，y＝12，∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．答案：(1)A(2)[12,18]要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数题型二函数的图象(2010年高考山东卷)函数y＝2x－x2的图象大致是()例2要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数【解析】由图象可知，y＝2x与y＝x2的交点有3个，说明函数y＝2x－x2的零点有3个，故排除B、C选项，当xx0时，有x22x成立，即y0，故排除D.【答案】A要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数【题后总结】作函数图象的基本思想方法大致有三种：(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图；(2)对函数解析式进行恒等变换，转化成已知方程对应的曲线；(3)通过研究函数的性质明确函数图象的位置和形状，值得注意的是取值、列表、描点、连线仅是作函数图象的辅助手段．要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数2．已知f(x)＝x＋1，x∈[－1，0x2＋1，x∈[0，1]，则下列函数的图象错误的是()要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数解析：选D.先作出f(x)的图象如图．A对．f(x－1)的图象由f(x)图象向右平移一个单位而得，故A符合要求．B对．f(－x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，故B符合要求．C对．f(|x|)的图象，在x≥0时与f(x)的图象重合．又因为f(|x|)是偶函数，则f(|x|)图象关于y轴对称，故C符合要求．D错．依题意|f(x)|与f(x)的图象应重合，显然D不符合要求．要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数题型三函数的性质(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋1bx＋c(a，b，c∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)＜3，且f(x)在[1，＋∞)上递增．(1)求a、b、c的值；(2)当x＜0时，讨论f(x)的单调性．例3要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数【规范解答】(1)∵f(－x)＝－f(x)，又f(－x)＝ax2＋1－bx＋c，∴ax2＋1－bx＋c＝－ax2＋1bx＋c⇒ax2＋1bx－c＝ax2＋1bx＋c，比较等式两边的系数得：c＝0，∴f(x)＝ax2＋1bx.3分∵f(1)＝2⇒2＝a＋1b⇒2b＝a＋1，又∵f(2)＜3，f(1)＝2，且f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴2＜f(2)＜3⇒2＜4a＋12b＜3，将2b＝a＋1代入得2＜4a＋1a＋1＜3⇒12＜a＜2，又a∈Z，∴a＝1，从而b＝1.综上可知a＝b＝1，c＝0……6分要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数(2)由(1)知f(x)＝x2＋1x，即f(x)＝x＋1x.设x1＜x2＜0，则f(x2)－f(x1)＝x2＋1x2－(x1＋1x1)＝(x2－x1)(1－1x1x2)＝(x2－x1)(x1x2－1x1x2)…..9分∵x1＜x2＜0，∴x2－x1＞0，x1x2＞0.当x1＜x2＜－1时，x1x2－1＞0；当－1≤x1＜x2＜0时，x1x2－1＜0，即x1＜x2＜－1时，f(x2)＞f(x1)，－1≤x1＜x2＜0时，f(x2)＜f(x1)，故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在[－1,0)上单调递减…….12分要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数【思维升华】(1)本题在求c时，用了f(－x)＝－f(x)恒成立，得出c＝0，还可以用如下解法求c：∵f(x)是奇函数，故f(x)的定义域关于原点对称．又f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠－cb}(显然b≠0，否则f(x)是偶函数)，∴－cb＝0，∴c＝0.(2)注意几种关系：f(x)为奇(或偶)函数，则定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，恒有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))成立；f(x)为单调递增(或递减)函数，则f(x)在某个区间内任意的x1、x2，且x1＜x2，不等式f(x1)＜f(x2)(或f(x1)＞f(x2))恒成立．要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数3．已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．变式训练要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数解：(1)x∈R且x≠0，关于原点对称．①a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)，f(－x)＝f(x)，故a＝0时，f(x)是偶函数．②a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，∴1＋a≠1－a＝f(－1)，1＋a≠－(1－a)＝－f(－1)，即f(1)≠f(－1)，f(1)≠－f(－1)，∴f(x)是非奇非偶函数．结合①②知当a＝0时，f(x)是偶函数，当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数．要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数(2)法一：设2≤x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)0恒成立，∵x1－x20，x1·x24，x1＋x24，∴x1x2(x1＋x2)－a0恒成立．即ax1x2(x1＋x2)恒成立，∵x1x2(x1＋x2)16，∴只需a≤16即可，∴a的取值范围是(－∞，16]．要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数法二：f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2，要使f(x)在[2，＋∞)上是增函数，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．即2x3－ax2≥0，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3恒成立．∴a≤(2x3)min，∵x∈[2，＋∞)，2x3是增函数，∴(2x3)min＝16，∴a≤16.法三：令f′(x)≥0，则2x3－ax2≥0，∴x≥3a2，即f(x)的递增区间为[3a2，＋∞)．要使f(x)在[2，＋∞)上是增函数，则3a2≤2，∴a≤16.要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数数形结合(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．例方法突破要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数【解析】y＝x2－|x|＋a是偶函数，图象如图所示．由图可知y＝1与y＝x2－|x|＋a有四个交点，需满足a－141a，∴1a54.【答案】1a54要点知识整合热点突破探究高考动态聚焦上页下页专题一集合与常用逻辑用语、函数、导数【题后归纳】本题利用了数形结合思想，数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它