2011届高考数学二轮复习专题二第1讲三角函数的图象与性质

热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第1讲三角函数的图象与性质热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量要点知识整合1．正弦、余弦、正切函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠＋kπ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正周期2π2ππ2热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx单调性在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增．在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减．在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增．在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增2223222热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx最值当x＝＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.当x＝－＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1当x＝2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1无最值22热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)．对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)．对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(，0)(k∈Z)222k热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点连线可得．(2)图象变换热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量题型一三角函数的图象变换(2009年高考天津卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是()A.π2B.3π8C.π4D.π8热点突破探究典例精析例1热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量【解析】由已知周期为π，即π＝2πω，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋π4)，将其图象向左平移|φ|个单位长度，得到y＝sin[2(x＋|φ|)＋π4]的图象，由其图象关于y轴对称，故sin[2(x＋|φ|)＋π4]＝±cos2x，即sin(2x＋2|φ|＋π4)＝±cos2x，∴2|φ|＋π4＝π2＋kπ，k∈Z，∴|φ|＝π8＋kπ2，k∈Z，当k＝0时，|φ|＝π8，故φ可取π8，故选D.【答案】D热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量【题后拓展】(1)在进行图象变换时，必须注意ω对平移单位的影响，即由y＝Asinωx变化到y＝Asin(ωx＋φ)时，平移量应是|φω|；但对y＝Asin(ωx＋φ)进行伸缩变换时，要注意φ是不变的，故本题常见的错误是将平移后的解析式写为y＝sin(2x＋|φ|＋π4)；热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量(2)任何一个形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的图象，经过平移变换之后，都可以变成一个奇函数或偶函数的图象，即可以变换为y＝±Asinωx或y＝±Acosωx的图象．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量题型二三角函数的性质例2已知向量a＝(sinx,23sinx)，b＝(2cosx，sinx)，定义f(x)＝a·b－3.(1)求函数y＝f(x)，x∈R的单调递减区间；(2)若函数y＝f(x＋θ)(0θπ2)为偶函数，求θ的值．【解】(1)f(x)＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x＋231－cos2x2－3＝sin2x－3cos2x＝2sin(2x－π3)．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量令2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，解得f(x)的单调递减区间是[kπ＋5π12，kπ＋11π12]，k∈Z.(2)f(x＋θ)＝2sin(2x＋2θ－π3)．根据三角函数图象的性质可知y＝f(x＋θ)(0θπ2)在x＝0处取最值．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量即sin(2θ－π3)＝±1，∴2θ－π3＝kπ＋π2，θ＝kπ2＋5π12，k∈Z.又0θπ2，解得θ＝5π12.【思维升华】求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性时，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量变式训练1．已知函数f(x)＝a(2sin2x2＋sinx)＋b.(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)当a0时，f(x)在[0，π]上的值域是[2,3]，求a，b的值．解：(1)∵a＝1，∴f(x)＝2sin2x2＋sinx＋b＝sinx－cosx＋b＋1＝2sin(x－π4)＋1＋b.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量∵y＝sinx的单调递减区间为[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)，∴当2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋3π2，k∈Z，即2kπ＋3π4≤x≤2kπ＋7π4(k∈Z)时，f(x)是减函数．∴f(x)的单调递减区间是[2kπ＋3π4，2kπ＋7π4](k∈Z)．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量(2)f(x)＝2asin(x－π4)＋a＋b，∵x∈[0，π]，∴－π4≤x－π4≤3π4，∴－22≤sin(x－π4)≤1.又∵a0，∴2a≤2asin(x－π4)≤－a，∴2a＋a＋b≤f(x)≤b.∵f(x)的值域是[2,3]，∴2a＋a＋b＝2，且b＝3，解得a＝1－2，b＝3.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量题型三三角函数的图象与解析式例3(本题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A0，ω0，－π2φπ2)，其部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x＋π4)·f(x－π4)在区间[0，π2]上的最大值及相应的x值．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量【规范解答】(1)由题图可知，A＝1，T4＝π2，所以T＝2π，ω＝1……2分又f(π4)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2φπ2，所以φ＝π4，所以f(x)＝sin(x＋π4)……4分(2)由(1)f(x)＝sin(x＋π4)，所以g(x)＝f(x＋π4)·f(x－π4)热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量＝sin(x＋π4＋π4)·sin(x－π4＋π4)＝sin(x＋π2)sinx＝cosx·sinx＝12sin2x……9分因为x∈[0，π2]，所以2x∈[0，π]，sin2x∈[0,1]，故12sin2x∈[0，12]，当x＝π4时，g(x)取得最大值12……12分热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量【题后拓展】已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ的值．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量变式训练2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0,0φπ2)图象关于点B(－π4，0)对称，点B到函数y＝f(x)图象的对称轴的最短距离为π2，且f(π2)＝1.(1)求A，ω，φ的值；(2)若0θπ，且f(θ)＝13，求cos2θ的值．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量解：(1)依题意有2πω＝4×π2＝2π，∴ω＝1.又f(－π4)＝Asin(－π4＋φ)＝0，∴sin(φ－π4)＝0.∵0φπ2，∴－π4φ－π4π4，∴φ－π4＝0，∴φ＝π4.又f(π2)＝Asin(π2＋π4)＝22A＝1，∴A＝2.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量(2)f(θ)＝2sin(θ＋π4)＝sinθ＋cosθ＝13⇒1＋2sinθcosθ＝19，2sinθcosθ＝－890，∵sinθ0，∴cosθ0，∴sinθ－cosθ＝1－2sinθcosθ＝173，∴cos2θ＝(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)＝－179.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量方法突破例设关于θ的方程3cosθ＋sinθ＋a＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a的取值范围；(2)求α＋β的值．【解】(1)原方程可化为sin(θ＋π3)＝－a2，作出函数y＝sin(x＋π3)(x∈(0,2π))的图象．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是－1－a21－a2≠32.即－2a－3或－3a2.(2)由图知：当－3a2，即－a2∈(－1，32)时，直线y＝－a2与三角函数y＝sin(x＋π3)的图象交于C、D两点，它们中点的热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量横坐标为76π，∴α＋β2＝7π6，∴α＋β＝7π3.当－2a－3，即－a2∈(32，1)时，直线y＝－a2与三角函数y＝sin(x＋π3)的图象有两交点A、B，由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3.综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝73π.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量【题后拓展】(1)此题若不用数形结合法，而是用三角函数有界性求a的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉a≠－3的限制，而从图象中可以清楚地看出当a＝－3时，方程只有一解．(2)在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数(量)与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的思想方法．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量高考动态聚焦考情分析从近几年高考试题来看，本讲高考命题具有以下特点：1．三角函数图象历来是高考命题的常考内容之一，高考主要以选择题形式考查三角函数图象的画法、图象的变换、对称轴、对称中心、解析式等问题，题目难度较小，但图象变换为易错题．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量2．三角函数的性质是高考命题的热点内容，常与图象一起