2011届高考数学二轮复习专题六第1讲直线与圆

热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何专题六解析几何热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何第1讲直线与圆热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何要点知识整合1.两直线平行、垂直的判定（1）①l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2（两直线斜率存在，且不重合），则有l1∥l2k1=k2,l1⊥l2k1·k2=-1.②若两直线的斜率都不存在，并且两直线不重合时，则两直线平行；若两直线中，一条直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在，则两直线垂直.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何(2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)的位置关系如下表.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何3.圆与圆的位置关系设⊙O1：(x－a)2＋(y－b)2＝r21(r10)；⊙O2：(x－c)2＋(y－d)2＝r22(r20)．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何热点突破探究典例精析题型一两直线的位置关系例1“a＝－1”是“直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何【解析】若直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直，则a×3＋(2a－1)×a＝0，解得a＝0或a＝－1.故a＝－1是两直线垂直的充分而不必要条件．【答案】A热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何【题后点评】两条直线a1x＋b1y＋c1＝0和a2x＋b2y＋c2＝0平行的充要条件为a1b2－a2b1＝0且a1c2≠a2c1或b1c2≠b2c1.垂直的充要条件为a1a2＋b1b2＝0，要熟练掌握这一条件．判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何1．(2009年高考上海卷)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2解析：选C.∵l1∥l2，∴－2(k－3)－2(k－3)(4－k)＝0，化简得(k－3)(k－5)＝0，∴k＝3或5.变式训练热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何题型二对称问题例2光线从A(－3,4)点出发，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过D(－1,6)点，求直线BC的方程．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何【解】如图所示，作点A(－3,4)关于x轴的对称点A′(－3，－4)，作点D(－1,6)关于y轴的对称点D′(1,6)，由物理及平面几何知识知道A′，B，C，D′四点共线．因为直线A′D′的方程为y＋46＋4＝x＋31＋3，即5x－2y＋7＝0，所以，直线BC的方程为5x－2y＋7＝0.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何【名师点评】在解决入射光线与反射光线问题时往往转化为对称问题，即“入射光线所在直线和反射光线所在直线关于反射面所在直线对称，也关于法线所在直线对称”．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何变式训练2．已知点A(－3,5)、B(2,15)，试在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点P，使|PA|＋|PB|最小，并求出最小值．解：设点A关于直线l的对称点为A′(x′，y′)．由y′－5x′＋3＝－43，3×x′－32－4×y′＋52＋4＝0，解得x′＝3，y′＝－3，即A′(3，－3)．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何∴A′B所在直线的方程为y＋315＋3＝x－32－3，即18x＋y－51＝0.解方程组18x＋y－51＝0，3x－4y＋4＝0，得x＝83，y＝3.∴所求点P的坐标为83，3.此时|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＝|A′B|＝（3－2）2＋（－3－15）2＝513，此即为所求的最小值．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何题型三圆的方程例3已知圆C经过点A(1,3)、B(2,2)，并且直线m：3x－2y＝0平分圆的面积．则圆C的方程为____________________．【解析】由已知得，线段AB的中点E(32，52)，kAB＝3－21－2＝－1，故线段AB的中垂线方程为y－52＝x－32，即x－y＋1＝0.因为圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上．又因为直线m：3x－2y＝0平分圆的面积，所以直线m经过圆心．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何由x－y＋1＝03x－2y＝0，解得x＝2y＝3，即圆心的坐标为C(2,3)，而圆的半径r＝|CB|＝（2－2）2＋（2－3）2＝1，所以圆C的方程为：(x－2)2＋(y－3)2＝1.【答案】(x－2)2＋(y－3)2＝1热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何【题后点评】求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何变式训练3．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何解析：选B.由题意设圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝r2(r＞0)．则|a－（－a）|2＝r，|a－（－a）－4|2＝r，解得a＝1，r＝2，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何题型四直线与圆的位置关系例4(本题满分12分)如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A(－2,0)，C(a,0)(a0)．设△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M，N.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何(1)若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；(2)若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；(3)是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为2？若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何变式训练【规范解答】(1)∵△AOB为等腰直角三角形，A点坐标为(－2,0)，∴圆心M的坐标为(－1,1)．∴圆M方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，又△COD为等腰直角三角形，C点坐标为(a,0)，∴直线CD的方程为x＋y－a＝0.2分∵⊙M与直线CD相切，∴圆心M到直线CD的距离d＝|－a|2＝2，解得a＝2或a＝－2(舍)，∴直线CD的方程为x＋y－2＝0.4分热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何(2)由已知得，直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心N的坐标为(a2，a2)．∴圆心N到直线AB的距离为|a2－a2＋2|2＝2.∵直线AB截⊙N所得的弦长为4，∴22＋(2)2＝a22.解得a＝23或a＝－23(舍)，∴⊙N的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝6.……8分热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何(3)存在．由(2)知，圆心N到直线AB的距离恒为2，且AB⊥CD始终成立，∴当且仅当圆N的半径2a2＝22，即a＝4时，⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为2.此时⊙N的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.…12分热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何【题后点评】研究直线与圆、圆与圆的位置关系要紧紧抓住圆心到直线、圆心到圆心的距离与圆的半径的大小关系这一关键点，在讨论有关直线与圆的相交弦问题时，如能充分利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中计算，往往能事半功倍．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何4．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．变式训练热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何解：(1)由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，得圆心坐标为C(－1,2)，半径r＝2，∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，∴设直线l的方程为x＋y＝a(a≠0)．∵直线l与圆C相切，∴|－1＋2－a|2＝2，∴a＝－1，或a＝3.所以所求直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何(2)∵切线PM与半径CM垂直，设P(x，y)，又∵|PM|2＝|PC|2－|CM|2，|PM|＝|PO|，∴(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，∴2x－4y＋3＝0.即所求点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何方法突破数形结合例已知x＋y＋1＝0，则（x－1）2＋（y－1）2的最小值是()A．32B.322C．23D.233【解析】点(1,1)到x＋y＋1＝0的距离即为所求．由距离公式d＝|Ax＋By＋C|A2＋B2可得d＝322.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何【答案】B【题后归纳】本题首先把（x－1）2＋（y－1）2转化为直线x＋y＋1＝0上的动点(x，y)与定点(1,1)的距离，求最小值，就是求点到直线的距离．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何高考动态聚焦考情分析从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：1．直线与方程是解析几何的基础知识，在每年的高考中均有涉及，它是解析几何综合题的纽带．直接命题时通常考查基本概念(倾斜角、斜率、平行与垂直、截距的变化范围等)的有关问题．2．圆是解析几何的重要内容，曲线模型相对独立，命题形式多样，常以选择题或填空题的形式考查圆的基本构成要素、圆的方程以及直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，难度中等偏易，对通性通法和基础知识的熟练掌握是解题的关键．热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何1．(2010年高考安徽卷)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0真题聚焦解析：选A.∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，∴所求直线斜率k＝12，排除C、D.又直线过点(1,0)，排除B，故选A.热点突破探究高考动态聚焦要点知识整合上页下页专题六解析几何2．(2010年高考天津卷)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________________．解析：直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)，即圆C的圆心坐标为(－1,0)．又圆C与