您好,欢迎访问三七文档
高考数学母题规划,助你考入清华北大!杨培明(电话:13965261699)数学丛书,给您一个智慧的人生!高考数学母题[母题]Ⅰ(10-15):等比最值(208)571等比最值[母题]Ⅰ(10-15):(2010年天津高考试题)设{an}是等比数列,公比q=2,Sn为{an}的前n项和,记Tn=1217nnnaSS,n∈N+.设T0n为数列{Tn}的最大项,则n0=.[解析]:由Sn=11qa(qn-1)Tn=nnnqqqq)1()1()1(172;设qn=t,则Tn=-121(t+t16-17)≤129,当t=t16(2)n=4n=4时,故n0=4.[点评]:着意于等比数列与不等式的联系(尤其是最值)是高考命题的一个重要方向,值得系统研究.[子题](1):(2012年北京高考试题)已知{an}为等比数列,下面结论种正确的是()(A)a1+a3≥2a2(B)a12+a32≥2a22(C)若a1=a3,则a1=a2(D)若a3a1,则a4a2[解析]:由a12+a32≥2a1a3=2a22.故选(B).注:本题可推广为:an-k2+an+k2≥2an2,进一步可得:在正项等比数列{an}中,若m+n=k+t,且|m-n||k-t|,则am+anak+at.[子题](2):(2008年四川高考试题)己知等比数列{an}中,a2=1,则其前3项和S3的取值范围是()(A)(-∞,-1](B)(-∞,0)∪(1,+∞)(C)[3,+∞)(D)(-∞,-1]∪[3,+∞)[解析]:设公比为q,则S3=q1+1+q;①当q0时,由q+q1≥2S3≥3;②当q0时,由q+q1≤-2S3≤-1.故选(D).注:着意于等比数列与双曲函数的联系,即利用双曲函数的性质解决等比数列的相关问题是高考命题的一个着力点.[子题](3):(1996年全国高中数学联赛试题)等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=-21,用πn表示它的前n项之积.则πn(n∈N)最大的是()(A)π9(B)π11(C)π12(D)π13[解析]:由πn=1536n(-21)2)1(nn当且仅当n=4k,n=4k+1时,Mm为正数;又因nn1=1536(-21)n1n11,故只有M9与M12最大,又因912=15633(21)301π12最大.故选(C).注:本题是等差数列前n项和的最值问题在等比数列中的类比,由该题出发又生成了一系列试题,本题具有母题功能.[子题系列]:1.(1993年全国高考试题)己知a1,a2,…,a8为各项都大于零的等比数列,公比q≠1,则()(A)a1+a8a4+a5(B)a1+a8a4+a5(C)a1+a8=a4+a5(D)a1+a8和a4+a5的大小关系不能由己知条件确定2.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)己知{an}是等比数列,a2=2,a5=41,则a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)的取值范围是3.(2007年全国高中数学联赛陕西预赛试题)对于实数t,己知等比数列{an}的前三项依次为2t,5t-1,6t+2,且该数列的前n项和为Sn,则满足不等式|Sn-651|1的最大整数n的值是()(A)2(B)3(C)5(D)64.(2011年江苏高考试题)设1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值是.5.(2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知等比数列{an}中,a3=2,当此数列的前5项和取得最小值时,前5项依次为.572[母题]Ⅰ(10-15):等比最值(208)6.(2012年全国高中数学联赛河南预赛试题)各项均为正数的等比数列{an}中,2a4+a3-2a2-a1=8,则2a8+a7的最小值为.7.(2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知x1,y1,且21lny,21,lnx成等比数列,则xy的()(A)最大值是2(B)最大值是e2(C)最小值是2(D)最小值是e28.(2012年全国高中数学联赛河北预赛试题)已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项am、an使得nmaa=4a1.则m1+n4的最小值为.9.(2013年江苏高考试题)在正项等比数列{an}中,a5=21,a6+a7=3,则满足a1+a2+…+ana1a2…an的最大正整数n的值为.10.(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)等比数列{an}的首项为a1=2020,公比q=-21.设f(n)表示该数列的前n项的积,则当n=时,f(n)有最大值.11.(2009年上海交通大学保送生考试试题)a1=1025,q=-21,{an}为等比数列,求a1a2…an的最大值.12.(2011年复旦大学自主招生数学试题)设有4个数的数列为:a1,a2,a3,a4,前3个数构成一个等比数列,其和为k,后3个数构成一个等差数列,其和为9,且公差非零,对于任意固定的k,若满足条件的数列的个数大于1.则k应满足()(A)12k27(B)12k27(C)12k=27(D)其他条件[子题详解]:1.解:由a1+a8-(a4+a5)=a1(1-q3)(1-q4)0.故选(A).2.解:由anan+1=25-2n原式=332[1-(41)n]∈[8,332).3.解:由2t(6t+2)=(5t-1)2t=1,或t=131.①当t=1时Sn≥2,n不存在;②当t=131时,|Sn-651|1最大n=2,故选(A).4.解:由1=a1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3q3≥a2+2≥a1+2=3q≥33,当a1=a2=1时,等号成立q的最小值=33.5.解:由S5=2(21q+q1+1+q+q2);令t=q+q1,则|t|≥2,q2+21q=t2-2S5=2(t2+t-1)在t=-2,即q=-1时取得最小值-2,此时,前5项依次为2,-2,2,-2,2.6.解:由2a4+a3-2a2-a1=8(2a2+a1)q2-(2a2+a1)=82a2+a1=182q0q12a8+a7=(2a2+a1)q6=1826qq(令q2-1=tq2=t+1)=8(t2+3t+3+t1),令f(t)=t2+3t+3+t1f(t)=22)12()1(tttfmin(t)=f(21)2a8+a7的最小值为54.7.解:由lnylnx=2121=lnylnx≤(2lnlnxy)2ln(xy)≥2xy≥e2.故选(D).8.解:由a7=a6+2a5q2=q+2q=2an=a1×2n-1,由nmaa=4a1m+n=6m1+n4≥23,当n=4,m=2时等号成立.9.解:由a5=21,a6+a7=3q+q2=6q=2an=2n-6;所以,不等式2-5(2n-1)22)11(nn2n-1252)11(nn2n252)11(nnn2)11(nn+5n2-13n+100n≤12最大正整数n=12.10.解:同子题3,n=12.11.解:同子题3,M12=102512(21)66最大.12.解:由a2+a3+a4=9a3=323q+q3+3=k(k-3)q2-3q-3=0k-3≠0,△=9+12(k-3)012k27,且k≠3,9.故选(D).
本文标题:15.等比最值
链接地址:https://www.777doc.com/doc-5450735 .html