11-多元(重)线性回归

多元（重）线性回归例子人的体重与身高、胸围血压值与年龄、性别、劳动强度、饮食习惯、吸烟状况、家族史糖尿病人的血糖与胰岛素、糖化血红蛋白、血清总胆固醇、甘油三脂射频治疗仪定向治疗脑肿瘤过程中，脑皮质的毁损半径与辐射的温度、与照射的时间32例40岁以上男性的年龄、吸烟、体重指数与收缩压多元回归分析数据格式多元线性回归模型多元线性回归模型的一般形式mmXbXbbY110ˆ两自变量与应变量的散点图两自变量与应变量的拟合面bj为xj方向的斜率多元线性回归分析的一般步骤表15-132例40岁以上男性的Quetelet体重指数、年龄、吸烟与收缩压实测值编号(ID)收缩压Y年龄X1吸烟X2体重指数X3编号(ID)收缩压Y年龄X1吸烟X2体重指数X311354502.876171454913.36021224103.251181424613.02431304903.100191355703.17141485203.768201425603.40151465412.979211505613.62861294712.790221445803.75171626013.668231375303.29681575413.612241325003.21091444412.368251495413.301101806414.637261324813.017111665913.877271204302.789121385114.032281264312.956131526404.116291616303.800141385603.673301706314.132151405413.562311526203.962161345012.998321646504.010采用最小二乘法建立多元线性回归方程1''BXXXY也可采用矩阵计算偏回归系数向量SAS程序dataa;inputnoyx1-x3;cards;11354502.87621224103.251。。。311526203.962321646504.01;procreg;modely=x1-x2/stb;run;SAS软件主要输出结果ParameterEstimatesParameterStandardStandardizedVariableDFEstimateErrortValuePr|t|EstimateIntercept142.788789.881594.330.00020x111.431840.310574.61.00010.68980x219.490432.421743.920.00050.33641x315.839084.287541.360.18410.20293分别为参数估计值b0、b1、b2、b3回归方程的假设检验与评价一、回归方程的假设检验二、偏回归系数的假设检验三、有关评价指标回归方程的方差分析（H0：所有总体回归系数bj为0）AnalysisofVarianceSumofMeanSourceDFSquaresSquareFValuePrFModel35052.618281684.2060936.58.0001Error281289.2567246.04488CorrectedTotal316341.87500有关计算公式有关计算公式SSYYiiNTotal()12SSYYiiNmodel()12SSYYiiNierror()12X2X1YModelSSTotalSSResidualSS各回归系数的t检验ParameterStandardStandardizedVariableDFEstimateErrortValuePr|t|Estimate变量自由度回归系数标准误t值P值标准化回归系数Intercept2842.788789.881594.330.00020x1281.431840.310574.61.00010.68980x2289.490432.421743.920.00050.33641x3285.839084.287541.360.18410.20293|12...2|1,2,...,1,1,...,2|1,2,...,1,1,...,(),1;1(1)jjjbjYpjjjjjjjpjjjpjtbSbSCnpClRRX为与其余自变量间的决定系数标准化回归系数（可说明各自变量相对贡献大小）变量回归系数bj标准化回归系数b’jljj标准差S常数项42.788780.00000X11.431840.689801471.8756.890561X29.490430.336417.9690.507007X35.839080.202937.6600.497078Y6341.87514.30303YjjYYjjjYYjjjjSSbnlnlbllbb)1/()1/(有关评价指标(软件有关结果)RootMSE（剩余标准差）6.7856R-Square（决定系数）0.7967AdjR-Sq（校正决定系数）0.7749DependentMean应变量Y的均值＝144.43750剩余标准差（RootMSE）反映了回归方程的精度，其值越小说明回归效果越好2|12...ˆ()/(1)146.044886.78564YpSYYnpSSnpMS残残（）决定系数（determinationcoefficient）215052.618281289.2567210.79676341.875006341.87500SSSSRSSSS回残总总＝说明所有自变量能解释Y变异的百分比。取值（0，1），越接近1模型拟合越好复相关系数（multiplecorrelationcoefficient）20.79670.8926RRYˆ说明所有自变量与Y间的线性相关程度。即与Y间的相关程度。如果只有一个自变量，此时|r|R校正决定系数（Adjusteddeterminationcoefficient）22/(1)11(1)1(1)/(1)1289.25672/28110.77496341.87500/31cSSnpnRRnpSSnMSMS残总残总＝－＝响考虑了自变量个数的影,22RRc偏回归平方和（sumofsquaresforpartialregression）及其F检验()12;1;1(1)jjSSSSFnpSSnp回回残在其它自变量存在于回归方程中的条件下，考察某一自变量Xj对应变量Y的回归效应；j=1,2,…,p0:0:10jjHHbb；()12;1;1(1)jjSSSSFnpSSnp回回残FullModelReducedModel实例计算用表15-1数据计算偏回归平方和，并进行F检验平方和方程的自变量方程SS回SS回－SS回-jSS残F值t值P值X1,X2,X35052.6181289.257X2,X34073.880978.73821.2564.610.0001X1,X34345.492707.12615.3573.920.0005X1,X24967.21985.3991.8551.360.1841/1/(3231)jSSSSFSS－（回－回）残自变量的选择一、全局择优法二、逐步回归法一、全局择优法根据一些准则（criterion）建立“最优”回归模型校正决定系数（考虑了自变量的个数）Cp准则（C即criterion，p为所选模型中变量的个数；Cp接近（p+1）模型为最优）AIC(Akaike’sInformationCriterion)准则；AIC越小越好模型的变量筛选(一)校正决定系数（Adjusteddeterminationcoefficient）2188.8412/2210.5282222.5519/26cMSRMS残总－＝Yˆ响考虑了自变量个数的影,22RRc（二）Cp准则的计算公式1964CLMallows()[2(1)]()(1)()[2(1)]()(p1)ppmpmpSSCnpMSnpMSnpMSC残残残残年提出接近的模型为最佳（三）AIC准则的计算公式2|121973()ln[()/]2ypAICnnpnSpAIC年由日本学者赤池提出最小二乘法时越小越好1.全局择优法求出所有可能的回归模型（共有2m－1个）对应的准则值；按上述准则选择最优模型SAS获得的几个准则值结果ADJRSQCPAICADJRSQCPAICx2x3x40.54563440.343x2x30.40748346.66x1x2x3x40.52823542.157x1x30.37522348.091x1x3x40.48797443.568x40.34653248.405x1x2x40.44683445.655x10.28443250.857x1x40.44137345.07x1x20.27478352.116x2x40.4395345.16x30.23063252.814x3x40.43542345.356x20.17864254.579x1x2x30.40756447.507全局择优法的局限性如果自变量个数为4，则所有的回归模型有24－1＝15个；当自变量数个数为10时，所有可能的回归为210－1＝1023个；……；当自变量数个数为50时，所有可能的回归为250－1≈1015个。2.逐步选择法1.前进法（forwardselection）2.后退法（backwardelimination）3.逐步回归法（stepwiseregression）它们的共同特点是每一步只引入或剔除一个自变量。决定引入或剔除基于对偏回归平方和的F检验1;1;)1(21)(pnpnSSSSSSFjj残回回（一）前进法自变量从无到有、从少到多1.Y对每一个自变量作直线回归，对回归平方和最大的自变量作F检验，有意义（P小）则引入。2.在此基础上，计算其它自变量的偏回归平方和，选取偏回归平方和最大者作F检验，…。局限性：即后续变量的引入可能会使先进入方程的自变量变得不重要。（二）后退法先将全部自变量放入方程，然后逐步剔除1.偏回归平方和最小的变量，作F检验及相应的P值，决定它是否剔除（P大）。2.建立新的回归方程。重复上述过程。局限性：自变量高度相关时，可能得不出正确的结果。（三）逐步回归法双向筛选；引入有意义的变量（前进法），剔除无意义变量（后退法）小样本检验水准a定为0.10或0.15，大样本把值定为0.05。值越小表示选取自变量的标准越严。注意，引入变量的检验水准要小于或等于剔除变量的检验水准。多元线性回归的应用及其注意事项一、应用影响因素分析，控制混杂因素预测：由自变量值推出应变量Y的值控制：指定应变量Y的值查看自变量的改变量二、应用条件三、应用的注意事项（一）变量的数量化（二）样本含量（三）统计“最优”与专业的“最优”（四）多重共线性（五）交互作用（六）残差图（七）偏相关系数（一）变量的数量化（1）自变量为连续型变量(必要时作变换)（2）自变量为有序变量(依次赋值，如疗效好中差，可分别赋值3、2、1)（3）自变量为二分类(可令男＝1，女＝0）（4）自变量为名义分类（需要采用哑变量（dummyvariables）进行编码）名义分类变量的哑变量化假如职业分类为工、农、商、学、兵5类，则可定义比分类数少1个，即4个哑变量。编码方法如下：举例姓名性别sex年龄职业(J)J1J2J3J4张山男119学生0001李四女025商人0010王五男130军人0000赵六女040农民0100钱七女036工人1000孙八男130商人0010刘九男126军人0000注意：1.哑变量是同时存在，其统计学意义是相对而言的。2.哑变量有无意义可采用加与不加入哑变量的偏回归平方和F检验确定。（二）样本含量观察个体数n与变量个数m的比例一般至少应为：观察个体n：变量m＝5～1