2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《二次函数与幂函数》

考纲点击1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．2．会求二次函数在闭区间上的最值．3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题.4.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况考点梳理一、二次函数的表示形式、图象与性质1．一般式：y＝①__________.2．顶点式：y＝②__________，其中(h，k)为抛物线顶点坐标．3．零点式：y＝③__________，其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标．4．二次函数的图象与性质函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域④__________⑨__________值域⑤__________⑩__________单调性在⑥__________上递减，在⑦__________上递增在⑪__________上递增，在⑫__________上递减最值当x＝－b2a时，函数有最小值⑧__________当x＝－b2a时，函数有最大值⑬__________顶点⑭__________对称轴函数的图象关于直线⑮__________成轴对称二、幂函数的定义、图象与性质1．幂函数的定义形如⑯__________(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是⑰__________，α为⑱__________.2．五种幂函数的图象3．五种幂函数的性质答案：①ax2＋bx＋c(a≠0)②a(x－h)2＋k(a≠0)③a(x－x1)(x－x2)(a≠0)④R⑤4ac－b24a，＋∞⑥－∞，－b2a⑦－b2a，＋∞⑧4ac－b24a⑨R⑩－∞，4ac－b24a⑪－∞，－b2a⑫－b2a，＋∞⑬4ac－b24a⑭－b2a，4ac－b24a⑮x＝－b2a⑯y＝xα⑰自变量⑱常数⑲R⑳R○21奇函数○22R○23[0，＋∞)○24偶函数○25[0，＋∞)○26(－∞，0]○27R○28R○29奇函数○30在R上为增函数○31[0，＋∞)○32[0，＋∞)○33非奇非偶函数○34在[0，＋∞)上为增函数○35(－∞，0)∪(0，＋∞)○36(－∞，0)∪(0，＋∞)○37奇函数○38(－∞，0)○39(0，＋∞)考点自测1.下列函数：①y＝1x3；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝3x2，其中幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：①④为幂函数，选B.答案：B2．函数y＝x13的图象是()ABCD解析：由y＝x13的图象过点(1,1)可排除A、D；当x＞1时，由x13＜x排除C，选B.答案：B3．如图所示，是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则|OA|·|OB|等于()A.caB．－caC．±caD．无法确定解析：由图可知a＜0，c＞0，|OA|·|OB|＝－ca，选B.答案：B4．(2013·济南调研)幂函数y＝f(x)的图象经过点4，12，则f14的值为__________．解析：设f(x)＝xα，则4α＝12，得α＝－12.故f(x)＝x12，f14＝1412＝412＝2.答案：25．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为__________．解析：由题意，得－a＋22＝1.故a＝－4，b＝6.f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5，所以f(x)的最小值为5.答案：5疑点清源1.二次函数在闭区间上的最值①二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在区间[m，n]上的最值问题．一般情况下，需要分－b2a＜m，m≤－b2a≤n和－b2a＞n三种情况讨论解决．②对二次函数f(x)＝a(x－k)2＋h(a＞0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论；(ⅰ)若k∈[m，n]，则ymin＝f(k)＝h，ymax＝max{f(m)，f(n)}；(ⅱ)若k∉[m，n]，则ymin＝min{f(m)，f(n)}，ymax＝max{f(m)，f(n)}，(a＜0时可仿此讨论)．③一般来说，讨论二次函数在闭区间上的最值，主要是看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上，从而应用单调性求最值．2．解题中要注意掌握二次不等式的转化策略(1)二次不等式f(x)＝ax2＋bx＋c≤0的解集是(－∞，α]∪[β，＋∞)⇔a＜0且f(α)＝f(β)＝0.(2)当a＞0时，f(α)＜f(β)⇔|α＋b2a|＜|β＋b2a|；当a＜0时，f(α)＜f(β)⇔|α＋b2a|＞|β＋b2a|.|α＋b2a|，|β＋b2a|表示横坐标为α，β的点到对称轴x＝－b2a的距离，距离的远近决定对应函数值的大小)(3)当a＞0时，二次不等式f(x)＞0在[p，q]上恒成立⇔－b2a＜p，fp＞0或p≤－b2a＜q，f－b2a＞0或－b2a≥q，fq＞0.(4)f(x)＞0恒成立⇔a＞0，Δ＜0或a＝b＝0，c＞0；f(x)＜0恒成立⇔a＜0，Δ＜0或a＝b＝0，c＜0.3．二次函数对应的一元二次方程的区间根的分布讨论二次函数相应的二次方程的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．在讨论过程中，注意应用数形结合的思想.题型探究题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)的二次项系数为a，满足不等式f(x)＞－2x的解集为(1,3)，且方程f(x)＋6a＝0有两个相等实根，求f(x)的解析式．解析：因f(x)与f(x)＋2x的二次项系数相等，∴f(x)＋2x的二次项系数为a.又∵f(x)＋2x＞0的解集为(1,3)，∴设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)(a＜0)，∴f(x)＝a(x2－4x＋3)－2x＝ax2－(4a＋2)x＋3a.∵方程f(x)＋6a＝0有两个相等实根，∴ax2－(4a＋2)x＋9a＝0有两个相等实根．∴[－(4a＋2)]2－36a2＝0，解得a＝1(舍)，a＝－15.∴f(x)＝－15x2－65x－35.点评：求二次函数的解析式的关键是待定系数，由题目的条件，合理地选择二次函数解析式的表达式形式，最简地求出解析式是关键之关键．变式探究1已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根立方和等于17.求f(x)的解析式．解析：依条件，设f(x)＝a(x－1)2＋15，即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15，∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋15a.而x31＋x32＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2)＝23－3·2·(1＋15a)＝2－90a，∴2－90a＝17，则a＝－6.∴f(x)＝－6x2＋12x＋9.题型二二次函数的最值例2已知f(x)＝x2＋3x－5，x∈[t，t＋1]，若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式．解析：如图所示，∵函数图象的对称轴为x＝－32，(1)当t＋1≤－32，t≤－52时，即h(t)＝f(t＋1)＝(t＋1)2＋3(t＋1)－5，即h(t)＝t2＋5t－1(t≤－52)．(2)当t≤－32＜t＋1，即－52＜t≤－32时，h(t)＝f(－32)＝－294.(3)当t＞－32时，h(t)＝f(t)＝t2＋3t－5.综上可得h(t)＝t2＋5t－1t≤－52，－294－52＜t≤－32，t2＋3t－5t＞－32.点评：二次函数区间最值主要有三种类型：轴定区间定，轴定区间动和轴动区间定．所求二次函数解析式固定，区间变动，可考虑区间在变动过程中，二次函数的单调性，从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值．变式探究2已知x2≤1，且a－2≥0，求函数f(x)＝x2＋ax＋3的最值．解析：由已知得－1≤x≤1，a≥2，于是函数f(x)是定义在区间[－1,1]上的二次函数，将f(x)配方得：f(x)＝x＋a22＋3－a24，二次函数f(x)的对称轴方程是x＝－a2，顶点坐标为－a2，3－a24，图象开口向上，由a≥2可得x＝－a2≤－1，显然其顶点横坐标在区间[－1,1]的左侧或左端点上．如图，函数的最小值是f(－1)＝4－a，最大值是f(1)＝4＋a.题型三二次函数的综合问题例3(2013·福建质检)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1)由f(0)＝1得，c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，∴2a＝2，a＋b＝0，∴a＝1，b＝－1.因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)＞2x＋m等价于x2－x＋1＞2x＋m，即x2－3x＋1－m＞0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1＞0得，m＜－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．点评：二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．变式探究3已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．解析：设f(x)的最小值为g(a)，则只需g(a)≥0，(1)当－a2＜－2，即a＞4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤73，又a＞4，故此时a不存在；(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝f－a2＝3－a－a24≥0，得－6≤a≤2，又－4≤a≤4，故－4≤a≤2；(3)当－a2＞2，即a＜－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，得a≥－7，又a＜－4，故－7≤a＜－4.综上，得－7≤a≤2.题型四幂函数的图象与性质例4点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点－2，14在幂函数g(x)的图象上．(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)问当x取何值时有：①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x)．解析：(1)设f(x)＝xa，因为点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，将(2，2)代入f(x)＝xa中，得2＝(2)a，解得a＝2，即f(x)＝x2.设g(x)＝xb，因为点－2，14在幂函数g(x)的图象上，将－2，14代入g(x)＝xb中，得14＝(－2)b，解得b＝－2，即g(x)＝x－2.(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象如图所示：由图象可知：①当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；③当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．点评：本题中g(x)的定义域为x≠0，所以③中不包含x＝0这一元素，故f(x)＜g(x)的解集是{x|－1＜x＜1且x≠0}．变式探究4已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m3＜(3－2a)－m3的a的范围．解析：∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈N＋，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－