【数学】2011届高考二轮专题复习课件：第4讲不等式及线性规划 (新课标人教版文)

第4讲不等式及线性规划主干知识整合第4讲│主干知识整合一、不等式的性质在不等式的性质中，要注意下面性质的应用：1．同向不等式的可加性：ab，cd⇒a＋cb＋d.2．可乘性：ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc.第4讲│主干知识整合3．两边为正的同向不等式可乘性：ab0，cd0⇒acbd.4．同乘方：ab0，n∈Q＋⇒anbn.5．倒数关系：ab，ab0⇒1a1b.第4讲│主干知识整合二、一元二次不等式1．一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解结合二次函数的图象得来，不要死记硬背，二次函数的图象是联系“二次型”的纽带．2．与一元二次不等式有关的恒成立问题，通常转化为根的分布问题，求解时一定要借助二次函数的图象，一般考虑四个方面：开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间端点函数值的符号．第4讲│主干知识整合三、基本不等式1．两个公式：(1)∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．(2)若a，b均是正数，则a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b，当且仅当a＝b时等号成立．2．求最值：积定和有最小值，和定积有最大值，一定注意“一正、二定、三等”．第4讲│主干知识整合四、线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示平面区域．2．线性规划的有关概念．线性规划问题——求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解——满足线性约束条件的解(x，y)．可行域——所有可行解的集合．最优解——使目标函数取得最大值或最小值的可行解．第4讲│主干知识整合3．求最优解的步骤：(1)设出变量，列出线性约束条件和目标函数；(2)作出可行域；(3)借助图形确定目标函数取得最优解的点，并求出最值；(4)从实际问题的角度审视最值，进而作答．要点热点探究第4讲│要点热点探究►探究点一不等式的性质例1已知a，b为非零实数，且ab，判断下列不等式哪些恒成立．①a2b2；②ab2a2b；③1ab21a2b；④baab；⑤a3b2a2b3.第4讲│要点热点探究【解答】根据不等式的性质结合特殊值法逐个进行分析判断．a2b2⇔(a＋b)(a－b)0，在ab时，这个不等式只有当a＋b0才成立，已知不能保证，故①不恒成立；ab2a2b⇔ab(b－a)0，在ab的情况下，只有ab0才成立，已知条件不具备，故②不恒成立；1ab21a2b⇔1ab2－1a2b0⇔a－ba2b20⇔a－b0⇔ab，故③恒成立；baab⇔b2－a2ab0⇔b＋ab－aab0，在ab时，只有当a＋bab0才能成立，这个不等式不是恒成立的，如a＝－3，b＝1，故④不恒成立；a3b2a2b3⇔a2b2(a－b)0⇔a－b0⇔ab，故⑤恒成立．所以能够恒成立的不等式的序号是③⑤.第4讲│要点热点探究【点评】解答判断题时要严密的推理论证和特例反驳相结合，分析与综合相结合，在以考查不等式性质为主的试题中，还要充分利用不等式的性质．第4讲│要点热点探究设0a1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为()A．nmpB．mpnC．mnpD．pmn第4讲│要点热点探究D【解析】只要根据不等式的性质确定a2＋1，a＋1,2a的大小关系即可．由于0a1，∴2aa2＋1,2aa＋1，a2＋1a＋1，故2aa2＋1a＋1，故loga(2a)loga(a2＋1)loga(a＋1)，即pmn.正确选项是D.要点热点探究第4讲│要点热点探究►探究点二一元二次不等式例2在R上定义运算：xy＝x(1－y)．若不等式(x－ax－b)0的解集是(2,3)，则a＋b的值是()A．1B．2C．4D．8第4讲│要点热点探究C【解析】根据不等式(x－a)(x－b)0的解集是(2,3)找到a，b之间的关系即可．不等式(x－a)(x－b)0，即不等式(x－a)[1－(x－b)]0，即不等式(x－a)[x－(b＋1)]0，该不等式的解集为(2,3)，说明方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的两根之和等于5，即a＋b＋1＝5，即a＋b＝4.正确选项是C.第4讲│要点热点探究【点评】一元二次不等式解集的端点就是其相应的一元二次方程的两个根，解题时可以充分利用一元二次方程根与系数的关系．第4讲│要点热点探究设0a1，函数f(x)＝loga(a2x－3ax＋3)，则使f(x)0的x的取值范围是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(loga2,0)D．(loga2，＋∞)第4讲│要点热点探究C【解析】根据对数函数的性质可得不等式0a2x－3ax＋31，换元后转化为一元二次不等式求解．令t＝ax，即0t2－3t＋31，因为Δ＝(－3)2－4×3＝－30，故t2－3t＋30恒成立，只要解不等式t2－3t＋31即可，即解不等式t2－3t＋20，解得1t2，故1ax2，取以a为底的对数，根据对数函数性质得loga2x0.应选C.要点热点探究第4讲│要点热点探究►探究点三基本不等式的应用例3已知a，b为正实数且ab＝1，若不等式(x＋y)·ax＋byM对任意正实数x，y恒成立，则M的取值范围是()A．[4，＋∞)B．(－∞，0]C．(－∞，4]D．(－∞，4)第4讲│要点热点探究D【解析】根据式子(x＋y)ax＋by的结构特点，不难求出这个式子的最小值，只要M小于这个最小值即可．因为(x＋y)ax＋by＝a＋b＋ayx＋bxy≥a＋b＋2≥2ab＋2＝4，等号成立当且仅当a＝b，ayx＝bxy，即a＝b，x＝y，故只要M4即可．应选D.第4讲│要点热点探究【点评】解决不等式恒成立问题的基本思路之一就是把其转化为求一个式子的最值(或极端值)问题．在使用基本不等式求最值时，一定要注意使用条件和等号能不能成立．第4讲│要点热点探究某公司一年购买某种货物200吨，分成若干次均匀购买，每次购买的运费为2万元，一年存储费用恰好为每次的购买吨数(单位：万元)，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买________吨．第4讲│要点热点探究20【解析】设出购买吨数，求出购买次数，根据已知数据即可求出总费用关于购买吨数的函数．设每次都购买x吨，则需要购买200x次，则一年的总运费为200x×2＝400x，一年的储存费用为x，则一年的总费用为400x＋x≥2400x·x＝40，等号当且仅当400x＝x，即x＝20时成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买20吨．要点热点探究第4讲│要点热点探究►探究点四线性规划问题例4已知实数x，y满足y≥1，y≤2x－1，x＋y≤m，如果目标函数z＝x－y最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数最大值的取值范围是()A．[1,2]B．[3,6]C．[5,8]D．[7,10]第4讲│要点热点探究B【解析】首先根据最小值的取值范围确定m的取值范围，再用m表示目标函数的最大值．(x，y)满足的区域如图，变换目标函数为y＝x－z，当z最小时就是直线y＝x－z在y轴上的截距最大时．当z的最小时为－1时，直线y＝x＋2，此时点A的坐标是(3,5)，此时m＝3＋5＝8.故m的取值范围是[5,8]．目标函数的最大值在点B(m－1,1)取得，即zmax＝m－1－1＝m－2，故目标函数最大值的取值范围是[3,6]．正确选项B.第4讲│要点热点探究【点评】解决线性规划问题的关键之一是弄清楚目标函数中z的含义，一般地经过变换目标函数式直线的斜截式方程后，这条直线在y轴上的截距就可以用z来表示，根据这个截距就可以确定目标函数在什么位置取得最大值和最小值．第4讲│要点热点探究若不等式组x≥0，y≥0，y＋x≤s，y＋2x≤4表示的平面区域是一个三角形，则实数s的取值范围是()A．0s≤2或s≥4B．0s≤2C．s≥4D．s≤2或s≥4第4讲│要点热点探究A【解析】先作出x≥0，y≥0，y＋2x≤4表示的区域如图所示，再据条件y＋x≤s及原不等式组表示的平面区域为三角形，可知直线y＋x＝s应介于两虚线的两侧，故有0s≤2或s≥4.第4讲│要点热点探究例5A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，求这两台机器在一个工作日内创造的最大利润．第4讲│要点热点探究【解答】设生产A，B两种产品各x，y件，则x，y满足约束条件3x＋y≤11，x＋3y≤9，x∈N，y∈N.生产利润为z＝300x＋400y.画出可行域，如图，显然目标函数在点A处取得最大值，由方程组3x＋y＝11，x＋3y＝9，解得x＝3，y＝2，此时目标函数的最大值是300×3＋400×2＝1700.第4讲│要点热点探究【点评】解决线性规划实际问题的关键是选取合适的变量表示限制条件和求解目标，从而建立起线性规划模型．一般来说影响目标的两个主要因素可以作为变量，如本题中影响目标的主要因素就是两种规格的产品的数量．教师备用题第4讲│教师备用题备选理由：1,2是不等式的性质与解法，3是线性规划问题，可作为基础训练，4是基本不等式的应用．1．下列四个条件中，p是q的必要不充分条件的是()A．p：ab，q：a2b2B．p：ab，q：2a2bC．p：ax2＋by2＝c为双曲线，q：ab0D．p：ax2＋bx＋c0，q：cx2＋bx＋a0【解析】DA是既不充分也不必要条件，B是充要条件，C是充分不必要条件，均可排除，故选D.第4讲│教师备用题2．[2010江西卷]不等式x－2xx－2x的解集是()A．(0,2)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，0)∪(2，＋∞)【解析】A考查绝对值不等式的化简．绝对值大于本身，值为负数，x－2x0，解得A.或者选择x＝1和x＝－1，两个检验进行排除．第4讲│教师备用题3．[2010·福建卷]设不等式组x≥1，x－2y＋3≥0，y≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值等于()A.285B．4C.125D．2第4讲│教师备用题【解析】B由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域Ω1中的点到直线3x－4y－9＝0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，可看出点(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离最小，故|AB|的最小值为2×|3×1－4×1－9|5＝4，所以选B.第4讲│教师备用题4．[2010·四川卷]设abc0，则2a2＋1ab＋1aa－b－10ac＋25c2的最小值是()A．2B．4C．25D．5【解析】B2a2＋1ab＋1aa－b－10ac＋25c2＝(a－5c)2＋a2－ab＋ab＋1ab＋1aa－b＝(a－5c)2＋ab＋1ab＋a(a－b)＋1aa－b≥0＋2＋2＝4，当且仅当a－5c＝0，ab＝1，a(a－b)＝1时等号成立，此时a＝2，b＝22，c＝25.规律技巧提炼第4讲│规律技巧提炼1．解不等式的依据是不等式的性质，进行同解变形，解含参数不等式时，要对参数分类讨论，注意(1)参数的范围，做到不重不漏，(2)分类的标准明确，(3)写清每一种情况的分段式结论和最终的结论；证明不等式的方法有：比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、构造函数法、数学归纳法等．2．利用基本不等式求最值，一定要注意从结构上调配出“和或积”为定值，同时注意正数和等号成立的条件，多积累配凑的经验．3．注重函数与方程、等价转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用，比如线性规