常用逻辑用语

第一部分常用逻辑用语知识网络常用逻辑用语命题及其关系简单的逻辑联结词全称量词与存在量词四种命题充分条件与必要条件量词全称量词存在量词含有一个量词的否定或且非并集交集补集运算概念与规律总结•（1）命题的结构•命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。•“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题•构成复合命题的形式：p或q(记作p∨q)；p且q(记作p∧q)；非p(记作┑q)概念与规律总结•（2）命题的四种形式与相互关系•原命题：若P则q；•逆命题：若q则p；•否命题：若┑P则┑q；•逆否命题：若┑q则┑p•原命题与逆否命题互为逆否，同真假；•逆命题与否命题互为逆否，同真假；概念与规律总结•（3）命题的条件与结论间的属性•若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即“推出人者为充分，被人推出者为必要”。•若pq,且qp,则p是q的充分不必要条件。•若pq,且qp,则p是q的必要不充分条件。•若pq,且qp,则p是q的充要条件。概念与规律总结•（4）“或”、“且”、“非”的真值判断•“﹃p”形式复合命题的真假与P的真假相反；•“p∧q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；•“p∨q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．概念与规律总结•（5）全称量词与存在量词•全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等；•存在量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等；•全称命题P:M,p(x）否定为P:M,P（x）•特称命题P:M,p(x）否定为P:M,P（x）概念与规律总结•（6）反证法是间接证法的一种•假设为真，即不成立，并根据有关公理、定理、公式进行逻辑推理，得出矛盾．•因为公理、定理、公式正确，推理过程也正确，产生矛盾的原因只能是“假设为真”，由此假设不成立，即“为真”．题型分类深度剖析题型一四种命题及其关系例1设原命题是“当c0时，若ab，则acbc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．思维启迪先分清原命题的大前提，命题的条件和结论；再写其他命题．解“当c0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是ab，结论是acbc.因此它的逆命题：当c0时，若acbc，则ab.它是真命题；否命题：当c0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；逆否命题：当c0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题．题型二充分、必要、充要条件的概念与判断例2指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB；(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.思维启迪首先分清条件和结论，然后根据充要条件的定义进行判断．解(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sinA＝sinB，反之，若sinA＝sinB，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件．(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，显然綈q⇒綈p，但綈p⇒綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件．(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但q⇒p，故p是q的充分不必要条件．题型分类深度剖析题型一含有逻辑联结词命题的真假判断例1写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假．(1)p：1是质数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：5≤5；q：27不是质数．解(1)p为假命题，q为真命题．p∨q：1是质数或是方程x2＋2x－3＝0的根，真命题．p∧q：1既是质数又是方程x2＋2x－3＝0的根，假命题．綈p：1不是质数，真命题．(2)p为假命题，q为假命题．p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直，假命题．p∧q：平行四边形的对角线相等且互相垂直，假命题．綈p：有些平行四边形的对角线不相等，真命题．(3)p为真命题，q为真命题，∴p∨q：5≤5或27不是质数，真命题．p∧q：5≤5且27不是质数，真命题．綈p：55，假命题．内容（1）独立性检验；（2）回归分析。结构背景独立性检验抽取样本提出统计假设运用2检验线性回归分析抽取样本提出统计假设运用r检验作出统计推断第二部分统计案例（1）用2统计量判断两个分类变量之间是否存在一定的关系；（2）两个数值型变量之间线性回归方程的建立及模型的可靠性。难点重点（1）2的意义及推导；（2）相关系数r的意义。§10.4统计案例基础知识自主学习要点梳理1．回归分析(1)定义：对具有的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：b^＝∑ni＝1xi－xyi－y∑ni＝1xi－x2，a^＝y－b^x.其中x＝1n∑ni＝1xi，y＝1n∑ni＝1yi，(x，y)称为样本点的中心．相关关系(3)相关系数①r＝∑ni＝1xi－xyi－y∑ni＝1xi－x2∑ni＝1yi－y2＝∑ni＝1xiyi－nxy∑ni＝1x2i－nx2∑ni＝1y2i－ny2；②当r0时，表明两个变量；当r0时，表明两个变量.r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性.r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间.通常|r|大于时，认为两个变量有很强的线性相关性．正相关负相关越强几乎0.75不存在线性相关关系2．独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的，像这类变量称为分类变量．(2)列联表：列出两个分类变量的，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为不同类别频数表y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d构造一个随机变量K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝为样本容量．(3)独立性检验利用随机变量来判断“两个分类变量”的方法称为独立性检验．a＋b＋c＋dK2有关系2×2列联表[难点正本疑点清源]独立性检验是本节内容的重点．独立性检验的一般步骤为：(1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式计算K2的值；(3)比较K2与临界值的大小关系作统计推断．值得注意的是，使用K2统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据都要大于5，所以，在选取样本容量时一定要注意．基础自测1．相关系数度量()A．两个变量之间线性相关关系的强度B．散点图是否显示有意义的模型C．两个变量之间是否存在因果关系D．两个变量之间是否存在关系解析相关系数来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱．A3．已知x，y之间的数据如表所示，则回归直线过点()x12345y1.21.82.53.23.8A．(0,0)B．(2,1.8)C．(3,2.5)D．(4,3.2)解析x＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y＝1.2＋1.8＋2.5＋3.2＋3.85＝2.5.∴样本点中心为(3,2.5)．回归直线过样本点中心．C4．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算K2的观测值k＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(有关，无关)．解析由观测值k＝27.63与临界值比较，我们有99.9%的把握说打鼾与患心脏病有关．有关5．①若r0，则x增大时，y也相应增大；②若r0，则x增大时，y也相应增大；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个点均在一条直线上．上面是关于相关系数r的几种说法，在上面的说法中，所有正确的序号是________．解析若r0，表示两个相关变量正相关，x增大时，y也相应增大，故①正确；r0，表示两个变量负相关，x增大时，y相应减小，故②错误；|r|越接近1，表示两个变量相关性越高，|r|＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．①③题型分类深度剖析题型一线性回归分析例1假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0已知∑5i＝1x2i＝90，∑5i＝1y2i＝140.8，∑5i＝1xiyi＝112.3，79≈8.9，2≈1.4.(1)求x，y；(2)对x，y进行线性相关性检验；(3)如果x与y具有线性相关关系，求出线性回归方程；(4)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？思维启迪：(1)先根据已知计算相关系数r，判断是否具有相关关系．(2)再利用公式求出回归方程进行回归分析．解(1)x＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5.(2)∑5i＝1xiyi－5xy＝112.3－5×4×5＝12.3，∑5i＝1x2i－5x2＝90－5×42＝10，∑5i＝1y2i－5y2＝140.8－125＝15.8，∴r＝12.310×15.8＝12.3158＝12.32×79≈12.31.4×8.9≈0.987.∵r0.75，所以认为x与y之间具有线性相关关系，求线性回归方程是有意义的．(3)b^＝∑5i＝1xiyi－5xy∑5i＝1x2i－5x2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23，a^＝y－b^x＝5－1.23×4＝0.08，所以线性回归方程为y^＝1.23x＋0.08.(4)当x＝10时，y^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用年限为10年时，维修费用约为12.38万元．探究提高在解决具体问题时，要先进行相关性检验，通过检验确认两个变量是否具有线性相关关系．若它们之间具有相关关系，再求回归方程，否则，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．变式训练3(2010·辽宁)为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)频数30402010表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)频数1025203015(1)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图(1)注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图(2)(2)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计注射药物Aa＝b＝注射药物Bc＝d＝合计n＝附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d.P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828解(1)如图所示．注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图(1)注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图(2)可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65