导数在研究函数中的应用――极值、最值

观察图象中，点a和点b处的函数值与它们附近点的函数值有什么的大小关系？aboxyxfy注：极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值。观察函数y=f(x)的图像探究1、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？2、极大值一定比极小值大么？yxfydefoghxC结论:极值点处导数值为0yxfydefoghxC探究3：函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点两侧的导数符号有什么规律？abxyx1Ox2x3x4x5x6)(xfy探究4:导数值为0的点一定是函数的极值点吗？三．求函数极值例1求函数的极值.4431)(3xxxf例2．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象：发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。xX2oaX3bx1yy=f(x))(),(31xfxf)(2xf)(bf)(3xf二、最值问题xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函数在[a,b]上的最值？一般的如果在区间，[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；注意:1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一2.最大值一定比最小值大.题型：求函数的最大值和最小值'21233,3fxxx解：1、求出所有导数为0的点；2、计算；3、比较确定最值。3()61233fxxx例1:求函数在，上的最大值与最小值.'0,22fxxx令解得：或(2)22(2)10(3)15,(3)3ffff又，，3()6123310.fxxx函数在，上的最大值为22，最小值为1．函数y＝1＋3x－x3有()A．极小值－2，极大值2B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1D．极小值－1，极大值3检测提升1f()xxx求函的极值23．已知关于x的函数f(x)＝－13x3＋bx2＋cx＋bc，如果函数f(x)在x＝1处取极值－43，则b＝________，c＝________.4、已知f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于()(A)6(B)0(C)5(D)1归纳小结1、极值的定义。2、判定极值的方法。３、求极值、最值的步骤。思想方法总结：观察、转化、数形结合。直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图所示，－2a2时，恰有三个不同公共点．答案：(－2,2)