结构力学-力法(一)

同济大学土木工程学院第六章力法Chapter6ForceMethod2020/5/19结构力学SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.超静定结构的概念Contents§6-1力法的基本原理§6-2超静定次数和力法基本结构§6-3力法典型方程和力法应用例题§6-4对称性的利用§6-5支座移动和温度改变时的力法计算§6-6超静定结构的位移计算§6-7StrucuralAnalysis超静定结构最终内力图的校核§6-8超静定结构的求解方法总体思想：同时考虑“变形、本构、平衡”。§6-1超静定结构的概念超静定结构的几何特征和静力特征几何特征：有多余约束的几何不变体系。静力特征：仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力。与静定结构相比的优点：内力分布均匀；能够内力重分布，抵抗破坏的能力强。SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.平衡方程——力（或应力）的表达式基本方程本构（物理）方程——力与位移（或应力与应变）关系几何方程——位移（或应变）的表达式StrucuralAnalysis超静定结构的求解方法总体思想：同时考虑“变形、本构、平衡”。基本方程中的未知量既有力（或应力）也有位移（或应变），选择不同类型的物理量作为基本未知量对应产生了三种不同的求解方法。以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上，将本构写成用力表示位移的形式，代入几何方程求解，这时最终方程是以力的形式表示的几何方程，这种分析方法称为力法（forcemethod）。以位移作为基本未知量，在自动满足几何方程的基础上，将本构写成用位移表示力的形式，代入平衡方程，当然这时最终方程是用位移表示的平衡方程，这种分析方法称为位移法（displacementmethod）。如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考虑位移约束和变形协调，位移的部分考虑力的平衡，这样一种分析方案称为混合法（mixturemethod）。平衡方程——力（或应力）的表达式基本方程本构（物理）方程——力与位移（或应力与应变）关系几何方程——位移（或应变）的表达式§6-1超静定结构的概念SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis“力法”的发展法国的纳维于1826年提出了求解超静定结构问题的一般方法（基本方程）。19世纪30年代，由于桥梁跨度的增长，出现了金属桁架结构。从1847年开始的数十年间，学者们应用图解法、解析法等研究静定桁架的受力，这奠定了桁架理论的基础。1864年英国的麦克斯韦创立了单位荷载法和位移互等定理，并用单位荷载法求出桁架的位移，由此学者们终于得到了求解超静定问题的方法——力法。土木工程专业的力学可分为两大类，即“结构力学类”和“弹性力学类”。“结构力学类”包括理论力学、材料力学和结构力学，其分析方法具有强烈的工程特征，简化模型是有骨架的体系（质点、杆件或杆系），其力法基本未知量一般是“力”，方程形式一般是线性方程。“弹性力学类”包括弹塑性力学和岩土力学，其思维方式类似于高等数学体系的建构，由微单元体（高等数学中的微分体）入手分析，简化模型通常是无骨架的连续介质，其力法基本未知量一般是“应力”，方程形式通常是微分方程。§6-1超静定结构的概念SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis力法的基本概念以图示单跨梁为例说明。§6-2力法的基本原理FundamentalsoftheForceMethodSchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis原结构待解的未知问题（超静定梁，一个多余约束）转化关键：如何求多余约束力X1？基本结构内力变形分析方法已掌握(primarystructureorfundamentalstructure)01基本结构在未知多余约束力X1和已知外荷载q共同作用下，与原结构等效，故(X1作用点沿X1作用方向的位移等于0）力法的基本概念对基本结构应用叠加原理§6-2力法的基本原理FundamentalsoftheForceMethodSchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis基本结构基本结构只承受未知多余约束力X1单独作用基本结构只承受已知外荷载单独作用01111P的物理含义见图示。和P111对于线弹性体系，位移和力成正比，有11111X其中，表示基本结构只承受单独作用时，作用点沿作用方向的位移。1111X1X1X01111PX从而上式称为力法方程（TheCompatibilityEquationofForceMethod），其中和可按静定结构位移计算方法计算。11P1力法的基本概念和的计算§6-2力法的基本原理FundamentalsoftheForceMethodSchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis11P1单位弯矩图荷载弯矩图EIl3311自乘EIqlP841互乘qlX831叠加计算最终内力：PMXMM11＝终力法的特点以多余约束力作为基本未知量。故，该方法称为力法。以内力和位移计算方法已知的结构（通常是静定结构）作为基本结构。根据多余约束力作用点沿多余约束力作用方向的位移（或变形）条件，建立关于多余约束力的方程——力法方程。求出多余约束力后，化超静定问题为静定问题。§6-2力法的基本原理FundamentalsoftheForceMethodSchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis将未知问题转化为已知问题，通过消除已知问题和原问题的差别，使未知问题得以解决。这是科学研究的基本方法之一。超静定次数力法基本未知量和基本结构是相互对应的。若选择静定结构作为基本结构，那么基本未知量就是多余约束力，故，基本未知量的数量就是多余约束的数量。多余约束的个数称为超静定次数。若一个结构有n个多余约束，则称其为n次超静定结构。§6-3超静定次数和力法基本结构SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis几次超静定?一根杆件所需要的最少约束数量是3个，本结构有2个多余约束，故，2次超静定。力法基本结构原结构解除多余约束所形成的静定结构，称为力法基本结构。§6-3超静定次数和力法基本结构SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis力法基本结构力法基本未知量与基本结构的关系力法基本未知量与基本结构是一一对应的，基本未知量确定后，对应的基本结构也就确定了。力法基本未知量数目（超静定次数）是唯一的，而基本结构不唯一。原结构X1X2力法基本结构－悬臂梁原结构简支梁作为基本结构X1X2还可以选择哪些基本结构?§6-3超静定次数和力法基本结构SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.超静定次数的判别判别方法物理方法－解除多余约束法数学方法－计算自由度法物理方法：解除多余约束，使原始超静定结构变为静定结构，从而确定多余约束数量。常见解除多余约束的方法主要有以下四种。去掉一支杆或切断一链杆（相当于去掉一个线位移约束）StrucuralAnalysis原结构基本结构X1去掉一支杆切断一链杆原结构基本结构X1§6-3超静定次数和力法基本结构SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.超静定次数的判别去掉一个单铰（相当于去掉两个线位移约束）StrucuralAnalysisX1原结构去掉一个单铰基本结构X2将一个单刚连接改为单铰连接（相当于去掉一个角位移约束）原结构单刚改为单铰基本结构X1§6-3超静定次数和力法基本结构SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.超静定次数的判别切断一个单刚结点（相当于去掉两个线位移约束和一个角位移约束）StrucuralAnalysisX1原结构切断一个单刚X2基本结构X3数学方法：计算结构体系的自由度，如果自由度小于零，说明体系是超静定结构，超静定次数为自由度的绝对值。按平面链杆体系计算自由度：结点数量8；链杆数量16；支杆数量3。自由度W=2×(结点数)－(链杆数+支杆数)=2×8－(16+3)=－3三次超静定。§6-3超静定次数和力法基本结构SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.超静定次数的判别两种方法的比较StrucuralAnalysis优点缺点最适用范围物理方法直观、形象；判别超静定次数的同时，得到基本结构。要求熟练掌握静定结构的构造特点，否则易错。构造相对简单的结构数学方法计算方法统一、规范，不易出错。基本结构与超静定次数判别完全脱离，需另外选择。构造相对复杂的结构具体应用中建议先采用物理方法判别超静定次数，然后采用数学方法校核。注意的问题超静定结构解除多余约束的方法有多种，对应的静定结构有多种形式，但作为力法基本结构的静定结构必须几何不变。§6-3超静定次数和力法基本结构SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis注意的问题超静定结构解除多余约束的方法有多种，对应的静定结构有多种形式，但作为力法基本结构的静定结构必须几何不变。原结构3次超静定X1X2X3单体悬臂刚架作为基本结构(√)X3X1X2多体悬臂刚架作为基本结构(√)简支刚架作为基本结构(√)X1X2X3三铰刚架作为基本结构(√)瞬变体系不能作为基本结构(×)一个超静定结构可能有多种形式的基本结构，不同基本结构带来不同的计算工作量。X3X1X2§6-3超静定次数和力法基本结构SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis注意的问题多余约束可以是外部约束，也可以是内部约束，解除约束要彻底。特别是无铰封闭框的内部多余约束极易忽略，一个无铰封闭框有三个多余约束。原结构基本结构X1(×)X4X2X3基本结构X1(√)§6-3超静定次数和力法基本结构SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis例题：判别下列结构的超静定次数，并作力法的基本结构。(a)(b)(c)(d)(e)§6-3超静定次数和力法基本结构SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis例题：判别下列结构的超静定次数，并作力法的基本结构。(f)(h)(g)课堂练习：TextBookP.170习题6-1§6-4力法典型方程和力法应用例题SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis力法典型方程以图示三次超静定刚架为例，说明如何建立力法方程。基本结构原结构ABX2X1X3AB基本结构在未知多余约束力和已知外荷载共同作用下，与原结构等效；故，B点与三个多余约束力对应的位移均为零。即0321引入：—基本结构在单独作用下，作用点沿作用方向的位移。—基本结构在已知外荷载单独作用下，作用点沿作用方向的位移。ij1jXiXiXipiXiX根据叠加原理：pppXXXXXXXXX333323213132323222121213132121111所以：000333323213123232221211313212111pppXXXXXXXXX此即为求多余约束力的力法方程