4.2--偏导数的运算

高等数学下册讲稿第四章数学分析教研室1第二节偏导数教学目的：(1)理解多元函数偏导数的概念；(2)掌握偏导数和高阶偏导数的求法的四则运算法则和复合函数的求导法则;(3)了解混合偏导数与求导次序无关的充分条件。教学重点：偏导数和高阶偏导数的求法教学难点：偏导数存在性的讨论教学方法：讲练结合教学时数：2课时一、偏导数的定义及其计算在研究一元函数时，从研究函数的变化率引入了导数的概念，对于多元函数同样需要讨论它的变化率。由于多元函数不止一个自变量，研究起来要复杂得多。但是，我们可考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，例如:理想气体的体积：,TVkp因此，我们引入下面的偏导数概念。1、偏导数的定义定义2.1设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y，而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量：),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为00(,)xyzx，00(,)xyfx，00(,)xzxy或),(00yxfx.即0000000(,)(,)(,)limxxfxxyfxyfxyx00d(,)dxxfxyx。同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00(,)xyzy，00(,)xyfy，00(,)yzxy或00(,)yfxy.即00(,)yfxy00000(,)(,)limyfxyyfxyy00d(,)dyyfxyy。高等数学下册讲稿第四章数学分析教研室2如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对自变量x的偏导函数，简称偏导数记作xz，xf，xz或),(yxfx.同理可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy.偏导数的概念可以推广到二元以上函数如),,(zyxfu在),,(zyx处,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz2、计算：从偏导数的定义可以看出，计算多元函数的偏导数并不需要新的方法，若对某一个自变量求导，只需将其他自变量常数，用一元函数微分法即可。于是，一元函数的求导公式和求导法则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。例1：求223yxyxz在点)2,1(处的偏导数．解法一：xz;32yxyz.23yx(1,2)zx,82312(1,2)zy72213解法二：2yz264xx，(1,2)zx(26)1xx81xz213,yy(1,2)zy2(32)yy7这里我们要知道，有时，“先求偏导函数再代值求某点的偏导数”不一定简便。如下例例2：2(,,)()arctanln(1),xyzfxyzxexyxyz求(1,0,1).fx解:(,0,1)xfx0,xxx(1,0,1)1.fx例3已知理想气体的状态方程RTpV（R为常数），求证：1pTTVVp.高等数学下册讲稿第四章数学分析教研室3证明：VRTp;2VRTVppRTV;pRTVRpVT;RVpTpTTVVp2VRTpRRVpVRT=1.有关偏导数的几点说明：1、偏导数xu是一个整体记号，不能拆分;2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,(,),(0,0),(0,0).xyzfxyxyff例如求解：xxfxx0|0|lim)0,0(0=0).0,0(yf例4：设22(,)(0,0)(,),0(,)(0,0)xyxyxyfxyxy求(,)fxy的偏导数。解：,)0,0(),(时当yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx,)()(22222yxxyy22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy,)()(22222yxyxx,)0,0(),(时当yx按定义可知xfxffxx)0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0xxyfyffyy)0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0yy故,)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222yxyxyxxyyyxfx.)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222yxyxyxyxxyxfy３、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导，函数在该点一定连续，但多元函数中在某点偏导数存在，函数未必连续.例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续.高等数学下册讲稿第四章数学分析教研室44、偏导数的几何意义设)),(,,(00000yxfyxM是曲面),(yxfz上一点，则偏导数),(00yxfx就是曲面被平面0yy所截得的曲线在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率；偏导数),(00yxfy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率.二、高阶偏导数设函数),(yxfz在区域D内的两个偏导数(,)xfxy、(,)yfxy的偏导数也存在，则称它们是函数),(yxfz的二阶偏导数。记作),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例5设13323xyxyyxz，求22xz、xyz2、yxz2、22yz及33xz.解：xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy33xz,62y22yz;1823xyxyxz2,19622yyxxyz2.19622yyx例6设byeuaxcos，求二阶偏导数.解：,cosbyaexuax;sinbybeyuax,cos222byeaxuax,cos222byebyuax,sin2byabeyxuax.sin2byabexyuax问题：混合偏导数都相等吗？例7设)0,0(),(0)0,0(),(),(223yxyxyxyxyxf，求(0,0),(0,0).xyyxff解：,)0,0(),(时当yx高等数学下册讲稿第四章数学分析教研室52223222)(2)(3),(yxyxxyxyxyxfx,)(232224222yxyxyxyx,)(2),(22223223yxyxyxxyxfy当)0,0(),(yx时，按定义可知：xfxffxx)0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0xxyfyffyy)0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0yyyfyffxxyxy)0,0(),0(lim)0,0(0=0xfxffyyxyx)0,0()0,(lim)0,0(0=1显然).0,0()0,0(yxxyff问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？定理2.1如果函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．例8验证函数22ln),(yxyxu满足拉普拉斯方程.02222yuxu证明：),ln(21ln2222yxyx,22yxxxu,22yxyyu,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu2222yuxu2222222222)()(yxyxyxxy=0证毕.内容小结:1.偏导数的定义（偏增量比的极限）2.偏导数的计算、偏导数的几何意义3.高阶偏导数：纯偏导，混合偏导及其相等的条件.高等数学下册讲稿第四章数学分析教研室6思考题：若函数),(yxf在点),(000yxP连续，能否断定),(yxf在点),(000yxP的偏导数必定存在？思考题解答：不能。例如22(,)fxyxy在(0,0)处连续,但(0,0)(0,0)xyff不存在。作业:练习册P5---P8.