因子模型

数学建模方法之概率统计分析法主成分分析因子模型马氏链模型统计回归模型排队论模型概率模型第一篇主成分分析在实际经济工作中，我们经常碰到多变量或多指标问题，例如，企业经济效益的评价，地区经济发展情况比较。由于变量或指标较多，且变量或指标之间存在一定的相关性，人们自然希望用较少的变量或指标代替原来较多的变量或指标，而且可尽量保存原有信息，利用这种降维的思想产生了主成分分析方法主成分分析法：就是设法将原来的具有一定相关性的变量或者指标，重新组成一组新的相互无关的少数几个综合变量或指标，以此代替原来的变量或指标。简单的说就是降维。应用：综合评价（系统评估）例：对我国上市公司的经济效益进行综合评判。上市公司资金利税率x1产值利税率x2百元销售成本利润x3百元销售收入利税x4流动资金周转次数x5主营利润增长率x6qinghua5.418.052.092.431.307.51beida7.218.544.515.261.4310.44hualian8.389.524.275.071.7010.49xinya6.319.973.634.591.297.21yanzhong8.971.431.731.181.105.22shuiyun3.746.470.330.390.985.24cengxin3.635.79-1.09-1.291.174.71qingshan14.475.977.621.371.2010.56pudong8.188.203.414.011.7512.13主成分分析步骤：1.将数据标准化，标准化后的数据矩阵仍记X阵。2.求矩阵X的相关系数阵3.求R的全部特征根i及相应的特征向量()。4.根据前k个主分量累计贡献率大小（∑），确定主成分（因子）个数。根据具体指标内容和指标变量系数大小解释主成分含义。用每个主成分的贡献率作权数，给出多指标综合评价值。()ijppRREigenvaluesoftheCorrelationMatrixEigenvalueDifferenceProportionCumulative14.047670163.037348020.67460.674621.010322140.302483690.16840.843030.707838450.553001900.11800.961040.154836550.100373280.02580.986850.054463270.029593850.00910.995960.024869420.00411.00006543211467955.000075.047085.0361916.0448652.0472272.0XXXXXXz654321055029.0.0959439.056514.0106057.0039443.0044568.0XXXXXXzObsPrin1Prin2Prin3Prin4Prin5Prin61-0.38118-0.32367-0.044500.303630.004300.0643720.57795-0.354160.492790.55119-0.187260.1741430.69219-0.215880.405570.40041-0.104610.0539340.22635-0.394190.275210.632960.13851-0.064815-0.82981-0.402930.47330-0.42964-0.55401-0.350206-1.19410-0.40627-0.368480.140000.022210.010637-1.63568-0.26394-0.67179-0.151890.01702-0.0376980.95195-0.461561.61851-0.925200.083940.2553090.46501-0.148880.190700.16273-0.303270.2088310-1.45693-0.18670-0.55658-0.17088-0.10267-0.0092211-0.294013.71727-0.02727-0.02382-0.064190.03517120.080410.225421.716940.127180.45539-0.2666813-2.11628-0.16312-0.90179-0.167840.14422-0.0333414-0.94513-0.31477-0.395130.097600.11375-0.03132156.74015-0.06989-1.12895-0.166180.04080-0.1139416-0.88090-0.23673-1.07853-0.380250.295890.10482用于系统评估的方法：关键问题是如何科学的客观地将一个多指标问题转化为单指标问题第一种方法：用第一主成分得分y=F1.必须要求：所有系数均为正第二种方法：将主成分F1,F2,Fm进行线性组合,系数为方差贡献率yidiyizhuchengfenpaixv13:30Saturday,July17,199935namePrin1x1x2x3x4x5x6laigang-2.116282.175.70-2.11-2.571.343.21cengxin-1.635683.635.79-1.09-1.291.174.71xinbai-1.456934.275.35-0.71-0.831.385.68shuiyun-1.194103.746.470.330.390.985.24guangsha-0.945134.657.800.530.651.185.82chanhong-0.880905.6510.63-0.92-1.191.088.84yanzhong-0.829818.971.431.731.181.105.22Qinghua-0.381185.418.052.092.431.307.51guoji-0.294018.078.690.730.8910.7510.16zonghang0.080419.666.276.692.633.051.64xinya0.226356.319.973.634.591.297.21pudong0.465018.188.203.414.011.7512.13beida0.577957.218.544.515.261.4310.44hualian0.692198.389.524.275.071.7010.49qingshan0.9519514.475.977.621.371.2010.56xiaxin6.7401525.9533.526.9615.381.5136.89统计软件SAS(关于主成分分析）数据的输入（介绍两种方法）data数据名（haimen);inputname$x1x2x3x4x5x6;card;qinghua50122run;外部文件转化为SAS数据集：已知c盘根目录下文件名test.dat为的数据文件张三男82956478data数据名（chengji);infile‘c:\test.dat’;inputname$sex$chinesemathsenglishchemisty;run;主成分分析Procprincompn=6out=out1;varx1-x6;run;procprintdata=out1;varprin1-prin6;run;数据预处理一致性处理：越大越差、越大越好归一化处理（去量纲）：(x-max(xi))/极差，x/max(xi),标准化处理（x-均值）/方差第二篇因子模型因子分析是统计中一种重要的分析方法，他的主要特点在于能探索不易观测或不能观察的潜在因素。它在社会调查、气象、地质等方面有广泛应用。若有n个学生，每个学生考五门课，考试成绩反映了学生的素质和能力，理解能力，逻辑能力，记忆能力，对文字符号概念的反应速度，能否从学生的学习成绩去寻找出反映这些能力的量。因子模型为:其中：为原指标,称为的公共因子或潜因子,为的特殊因子可将上式写成矩阵表示形式：称为因子载荷阵'12,,,pXXXX'12,,,mFFFF'12,,,pXAFmpmpmpppmmFrFrFrXFrFrFrX221112121111pmijAa因子分析步骤：前四步骤与主成分步骤相同，在此略。5.求初始因子载荷阵A。6.若公因子的含义不清楚，不便于实际解释时，将初始因子阵作旋转处理，直到达到要求。7.根据因子载荷大小说明因子具体含义。将因子表示成原指标变量线性组合，估计因子得分。用每个因子的贡献率作权数，给出多指标综合评价值。因子载荷阵的统计意义模型中载荷矩阵中的元素称为因子载荷。因子载荷是与的协方差，也是与的相关系数，它表示依赖的程度。可将看作第i个变量在第j个公共因子上的权，的绝对值越大，表明与的相依程度越大，或称公共因子对于的载荷量越大。为了得到因子分析结果的经济解释，因子载荷矩阵A中有两个统计量十分重要，即变量共同度和公共因子的方差贡献。ijaijaixjFijaixijajFixjFjFixjF变量共同度因子载荷矩阵中第i行元素之平方和记为，即，称为变量的共同度。它是全部公共因子对的方差所做出的贡献，反映了全部公共因子对变量的影响。越大表明对于F的每一分量的共同依赖程度大。2ih221miijjhaixixixix2ihixix1mFF公共因子的方差贡献将因子载荷矩阵的第j列的各元素的平方和记为，即，称为公共因子对x的方差贡献。就表示第j个公共因子对于的每一分量所提供方差的总和，它是衡量公共因子相对重要性的指标。越大，表明公共因子对x的贡献越大,如果将因子载荷矩阵的所有都计算出来，使其按照大小排序，就可以依此提炼出最有影响力的公共因子。jF2jg221pjijigajF1,2,,iipx2jgjF2jgjF2jg因子载荷阵A（主成分法）一般设为样本相关阵R的特征根，为对应的标准正交化特征向量。则因子载荷阵A的一个解为：12p12,,,p1122ˆ,,,mmA因子旋转建立因子分析模型的目的不仅是找出主因子，更重要的是知道每个公共因子的意义，以便对实际问题进行分析。如果求出主因子解后，各个主因子的典型代表变量不很突出，我们就可以利用因子载荷阵的不唯一性这一特点对得到的因子模型进行旋转使得变换后的公共因子和载荷阵有明显的实际意义。最常用的方法是最大方差正交旋转法(Varimax)。进行因子旋转，就是要使因子载荷矩阵中因子载荷的平方值向0和1两个方向分化，使大的载荷更大，小的载荷更小。接近于1的表明公因子与的相关性很强，在很大的程度上解释了的变化；接近于0的表明与的相关性很弱。。例：对我国上市公司的经济效益进行因子分析Procfactormethod=principaln=2rotate=varinmaxall;Varx1-x6;Run;Factor1=0.95056x1+0.89158x2+0.75108x3+0.9565x4+0.24829x5+0.9247x6Factor2=0.0091x1-0.30529x2+0.49587x3-0.01446x4+0.89379x5-0.34281x6马氏链模型：系统在每个时期所处的状态是随机的，且这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移概率，与以前无关，此称为马氏性或无后效性。具有此种性质的随机序列称为马氏链。马氏链模型在经济学、社会学、生态学、遗传学等许多领域有着广泛地应用。设随机序列{X(n),n=0,1,2,···}的离散状态空间E为{1,2,···}，下面定义马尔科夫链。定义1设随机序列{X(n),n=0,1,2,···}的离散状态空间为