勾股定理中蕴含的数学思想

勾股定理中蕴含的数学思想河北张家口市第十九中学贺峰数学思想方法是对数学的认识内容和所使用的方法的本质的认识，是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁，有了数学思想方法为灵魂，数学才有了魅力。在学习数学的过程中，既要掌握基础知识，又要注重挖掘题目中蕴含的数学思想和方法，从而不断提高数学素养，增强探索创新能力，激发学习数学的兴趣，本文着重将勾股定理中蕴含的数学思想为同学们加以分析：一、特殊到一般的思想例1如图1所示的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________。析解：观察图象，第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长分别为2、4、8、16，由此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长为2n。说明：猜想型问题是近几年各地中考试题的热点问题，根据问题提供的信息，通过观察、类比、推理、猜想、验证得出一般性规律和结论是解决这类问题一般方法，解题时要注意数形结合。二、分类思想例2如果三条线段的长分别为6cm、xcm、10cm，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么x＝_______。析解：本题分两种情况解答（1）当以6cm、xcm为直角边，10cm为斜边时，102＝62＋x2，x＝±8（舍负）（2）当6cm、10cm均为直角边时，62＋102＝x2，x＝±234（舍负）因此，x为4或34。说明：在利用勾股定理解答某些数学问题时，常见的分类情况有以直角边、斜边分类，按等腰三角形的腰与底分类，依三角形的形状分类，按展开方式的不同分类等，同学们在解题须注意这一点，以避免出现丢解或遭成错解。三、整体思想例3如图2，已知Rt△ABC的周长为2＋6，其中斜边AB＝2，求这个三角形的面积。析解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC2＋AC2＝22即(BC＋AC)2－2BC·AC＝4又由已知得BC＋AC＝6所以(6)2－2BC·AC＝4解得BC·AC＝1所以S＝12BC·AC＝12说明：若要直接求出BC与AC的值，再求三角形的面积，比较繁杂，但由S＝12BC·ACBCA图2图1联想到运用整体思想（将BC·AC视为一个整体），问题便可顺利获解。四、转化思想例4如图3，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是____(结果保留根式)．析解：将圆柱的侧面展开，如图4，由“两点之间，线段最短”可知线段AC为小虫爬行的最短路线，由勾股定理可得AC＝AB2＋BC2，又因为AB＝12×2×π×2π＝2，BC＝2，所以AC＝22＋22＝22。说明：在解决立体图形的最短路径问题时，通常是将立体图形向平面图形进行转化，利用平面内两点之间线段最短、勾股定理知识最终将问题解决。五、方程思想例5如图4，折叠矩形ABCD，使它的边AD落在AF处，F在边BC上．已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．析解：连结AE，则△ADE≌△AFE，所以AF＝AD＝10，DE＝EF．设CE＝x，则EF＝DE＝8－x，BF＝AF2－AB2＝6，CF＝4．在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，即（8－x）2＝x2＋16，故x＝3.说明：方程是解决数学问题的重要工具，也是重要的数学思想，在几何计算和几何证明中常常通过布列方程使问题得到解决。六、数形结合思想例6印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.析解：根据题意，画出图形，如图5，设湖水深x尺，则露出水面部分为12尺，结合图形，由勾股定理得，(x＋12)2＝x2＋22，解这个方程得x＝154，x＋12＝154＋12＝174（尺），所以湖水深174尺。说明：数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．七、类比思想例7△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C=90°，如图6，根据勾股定理，则a2＋b2＝c2，若△ABC不是直角三角形，如图7和图8，请你类比勾股定理，试猜想a2＋b2与图4ADBCEF图3AABDDC图4图5x12x＋122c2的关系，并证明你的结论。解：若△ABC是锐角三角形，则有a2＋b2＞c2若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2＋b2＜c2当△ABC是锐角三角形时，证明：过点A作AD⊥CB，垂足为D。设CD为x，则有DB＝a－x根据勾股定理得b2－x2＝c2―(a―x)2即b2－x2＝c2―a2＋2ax―x2∴a2＋b2＝c2＋2ax∵a0，x＞0∴2ax＞0∴a2+b2＞c2当△ABC是钝角三角形时，证明：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D。设CD为x，则有DB2＝a2－x2根据勾股定理得(b＋x)2＋a2―x2＝c2即b2＋2bx＋x2＋a2―x2＝c2∴a2＋b2＋2bx＝c2∵b＞0，x＞0∴2bx＞0∴a2＋b2＜c2说明：数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。ACBABCABC图7图6图8BAC图9abcDABCDacb图10