双曲线离心率习题课..

2020年5月19日星期二让理想的雄鹰展翅高飞！【例3】►设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()．[审题视点]设出双曲线的方程，由两直线垂直可以确定一个关于a，b，c的关系式，结合c2－a2＝b2可解．A.2B.3C.3＋12D.5＋12答案D解析设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－bc.又渐近线的斜率为±ba，所以由直线垂直关系得－bc·ba＝－1(－ba显然不符合)，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，所以c2－a2＝ac，两边同除以a2，整理得e2－e－1＝0，解得e＝5＋12(负值舍去)．【训练3】(2013·杭州质检)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是()．A.5B．2C.3D.2答案B解析如图，由l2⊥PF1，l2∥PF2，可得PF1⊥PF2，则|OP|＝12|F1F2|＝c，设点P的坐标为m，bam，则m2＋bam2＝cam＝c，解得m＝a，即得点P的坐标为(a，b)，则由kPF2＝ba－c＝－ba，可得2a＝c，即e＝ca＝2，故应选B.【真题探究】►(2012·浙江)如图，F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a，b0)的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是()．A.233B.62C.2D.3[教你审题]第1步求出直线F1B的方程；第2步求出点P、Q的坐标，及PQ的中点坐标；第3步求出PQ的垂直平分线方程，令y＝0得M点的坐标；第4步由|MF2|＝|F1F2|建立等式关系，从而求得双曲线离心率．[一般解法]依题意，知直线F1B的方程为y＝bcx＋b，联立方程y＝bcx＋b，xa－yb＝0，得点Qacc－a，bcc－a，[答案]B联立方程y＝bcx＋b，xa＋yb＝0，得点P－acc＋a，bcc＋a，所以PQ的中点坐标为a2cb2，c2b.所以PQ的垂直平分线方程为y－c2b＝－cbx－a2cb2.令y＝0，得x＝c1＋a2b2，所以c1＋a2b2＝3c.所以a2＝2b2＝2c2－2a2，即3a2＝2c2.所以e＝62.故选B[优美解法]不妨设c＝1，则直线PQ：y＝bx＋b，两渐近线为y＝±bax，因此有交点P－aa＋1，ba＋1，Qa1－a，b1－a，设PQ的中点为N，则点N的坐标为a21－a2，b1－a2，因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|＝|F1F2|，所以点M的坐标为(3,0)，因此有kMN＝b1－a2－0a21－a2－3＝－1b，所以3－4a2＝b2＝1－a2，所以a2＝23，所以e＝62.[解析](1)由y＝bax，y＝bcx＋c，可解得x＝acc－a，y＝bcc－a，即Qacc－a，bcc－a.由y＝－bax，y＝bcx＋c，(1)(2012年高考浙江卷)如图，F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a，b0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是()可解得x＝－acc＋a，y＝bcc＋a，即P－acc＋a，bcc＋a.设PQ的中点为N，则Na2cc2－a2，bc2c2－a2，而M(3c,0)，∴kMN·bc＝－1，即bc24a2c－3c3＝－cb，整理得2c3＝3a2c，即e2＝32，解得e＝62.【1】如图，1F和2F分别是双曲线22221(0,0)yxabab的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为.题型三离心率问题1||,AFc2||3,AFc32cca23131ca31【2】（09浙江）过双曲线22221(,0)yxabab的右顶点A作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,BC.若12ABBC,则双曲线的离心率是.直线方程为0xya22(,),(,)aabaabBCabababab12ABBC25.bae题型三离心率问题1()2BCByyy3CByy5【2】（09浙江）过双曲线22221(,0)yxabab的右顶点A作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,BC.若12ABBC,则双曲线的离心率是.直线方程为0xya22(,),(,)aabaabBCabababab22222222(,),(,)ababababBCABabababab12ABBC25.bae题型三离心率问题22222abababab2220baba55【3】设a＞1,则双曲线的离心率e的取值范围是__________.2222=1(1)yxaa+2222+(+1)=aaea(2,5)11,01,aa225.e21=1+(1+).a222+2+1aaa2122aa21(1+)(1,4),a211+(1+)(2,5)a题型三离心率问题222212121(00)0,2()A.B.23522C.D.3()FFabFFPbxxaa设和为双曲线，的两个焦点，若，，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为　　江西卷2222223623 tan344B42.cbcacacbcea依题意得，所解析：以，，得答案：即222“”cab双曲线问题中，是一个恒等式，也是一个隐含条件，在求离心率等相关问题时要会灵反思小结：活运用．••已知双曲线（a0,b0）的左，右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任一点，当取得最小值时，该双曲线的离心率最大值为.•利用双曲线的定义和基本不等式可求得最值.例322221xyab212PFPF3•因为•所以•则•所以•当且仅当时取得最小值，此时•又因为则6a≥2c，所以•1≤3，即离心率最大值为3，填3.122PFPFa，122.PFPFa22212244PFPFaPFa，221222448.PFaPFaaPFPF22PFa1242.PFaPFa，122PFPFc，ca•熟练掌握双曲线的定义及几何性质，借助数形结合及正余弦定理能很好的解决与焦点有关的三角形问题，涉及考查双曲线的离心率比较常见，需注意e1.•设△ABC为等腰三角形，∠ABC=120°,则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（）•A.B.C.D.•设∠ABC=120°,由余弦定理得•又因为双曲线以A、B为焦点且过点C，则•所以双曲线的离心率•故选B.变式练习31221321213B1ABCB，3AC，23121aACBCcAB，，21231cceaa132，•2.(湖南卷)过双曲线C：(a＞0,b＞0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B，若∠AOB=120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为.•因为∠AOB=120°∠AOF=60°,•∠AFO=30°,c=2a，所以e==2.填2.•本小题考查双曲线的定义、几何性质及三角形有关知识等，考查数形结合能力.2222-1xyab2ca1212222212 11tan2xyaPFFbPFPFPFFe已知是以、为焦点的双曲线上一点，，且，则此双曲线的离心拓练习：率展为　112212121221122222222121.tan212.222.24225.cPFrPFrPFPFPFFrrrrararreacacrar设，因为，，所以,所以由双曲线的定义可知，，所以又,所以，所以解析：5(理)在正三角形ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则以B、C为焦点，且过D、E的双曲线的离心率为()A.53B.3－1C.2＋1D.3＋1解析：设正三角形ABC边长为1，则2c＝BC＝1,2a＝CD－BD＝32－12.∴离心率e＝ca＝132－12＝3＋1.答案：D(文)(2010·广州一中)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C，若AB→＝12BC→，则双曲线的离心率是()A.2B.3C.5D.10解析：过点A(a,0)的直线的方程为y＝－x＋a，则易求得该直线与双曲线的渐近线y＝±bax的交点B、C的坐标为Ba2a＋b，aba＋b、Ca2a－b，－aba－b，由AB→＝12BC→得b＝2a，所以双曲线的离心率e＝a2＋b2a＝5.答案：C(理)在如图△ABC中，tanC2＝12，AH→·BC→＝0，则过点C，以A、H为两焦点的双曲线的离心率为()A.2B.3C．2D．3解析：由题设条件知，AH⊥BC，tanC＝2tanC21－tan2C2＝43，∵C点在以A、H为焦点的双曲线上，设双曲线的实、虚半轴及半焦距分别为a、b、c，则有AH＝2c，CH＝b2a，∴2cb2a＝43，∴3ac＝2(c2－a2)，∴3e＝2(e2－1)，即2e2－3e－2＝0，∵e1，∴e＝2.答案：C(3)(广东省高州长坡中学2011届高三年级12月月考)点P是双曲线 - =1(a0,b0)左支上的一点,其右焦点为F(c,0),若M为线段FP的中点,且M到坐标原点的距离为 c,则双曲线的离心率e范围是 ()(A)(1,8].(B)(1, ].(C)( , ).(D)(2,3].22xa22yb18434353【解析】(1)(法一)由题意得F2的坐标为( ,0),点P的坐标为( ,4),所以|PF1|=2=6,|PF2|=4,a= =1,b2=c2-a2=1,5522(5)2642所以双曲线的方程为x2- =1.(法二)由题意可得F2的坐标为( ,0),点P的坐标为( ,4).设双曲线方程为 - =1(a0,b0),则有,解得 .故双曲线的方程为x2- =1.24y5522xa22yb2222225541abab12ab24y(2)由题意可得 = ,c2=a2+b2,所以 = .(3)设双曲线的左焦点为F'与坐标原点为O,连结PF',则|OM|= c,又因为M是线段FP的中点,所以|PF'|=2|OM|=2× c= ,而|PF'|≥c-a,即 ≥c-a得 ≤a,得 ≤ ,即e≤ ,又e1,故1e≤ .【答案】(1)B(2)D(3)Bba43ca5318184c4c34cca43434322223.11(1)xyaaae设，则双曲线－＝的离心率的取值范围是___________(2,5)222222211()1(1).1(1)1012525caaeaaataeea＝＝＝＋＋因为函数＝是，＋上【解的单调减函数，所以，，所以，即析】2、若椭圆的离心率为,则双曲线的离心率为_______)0(,12222babyax2312222byax5222224.1xyABabAB2点、两点分别为双曲线C：（ab0）的两a条渐近线上，若中点在双曲线C上，若OAOB=，则2双曲线的离心率为221223.1832xPQyFPQFPFQ