实变函数答案-胡适耕-第三章

62第三章习题A1.证明：3.1.2设)(XMf,Xfd存在,AX可测,则Afd亦存在,且Afd=AXfd．证1若)(XSf，XA可测，显然)(ASf，Afd存在，不妨设nieiiaf1，ia0且互不相等，ie为X中互不相交的可测集),,2,1(ni，由()111()iiinnnAieAieAieAiiifaaa．所以XniiiAAeadf1)(．又),,2,1()(nieAafAii,故nieAiAiaf1)(|，从而AniXAiidfAeafd1)(．2若)(XMf，XA可测，显然有)(AMf，)(AMfA，Afd存在，显然)(AS，且Af|令AxxAxCf)(0，显然，)(XSf，且Aff，fA，Af|，AAASfdfdA)(|supXfASfdA)(|supXAXXSfdfdA)(sup．∴Afd=XAdf.633)(XMf，则fff，由于Xf存在，故Xf，Xf中至少一个有限，不妨设Xf，由于)(XMf，由2知XXAff，且XAf=Af，从而Af，从而Af存在，同理由2XAf=Af，且Af=AAff=XXAAff=XAf．2．设如§2.2中例3，:fXR，求Xfd.解§2.2中例3中的定义如下:设X是任一非空集,取定aX,对任给AX,定义01)(aAAcAaAa；(\{}){}XXaa且(\{}){}Xaa又由定义知(\{})0,({})1Xaa．∴Xfd=\{}Xafdu+{}afd=0+{}afd=})({)(aaf=)(af∴Xfd=)(af．3．设)(1XLf，则)(0)(nnfX．证由3.2.2引理知,对,n有1()XXfnfn，又由3.2.3(i)知,11()()fLXfLX，从而Xf)(01nfnX，故()0Xfnn．4．设1,,(),(),,fggfLXMXfg则1()LX．64证由fg，知0fgf．因为1()gfLX，所以由命题3.2.3知1()fLX，又1fL，故1()ffL．5.设1,(),fgLX则eagf.,对每个可测集,XA有AAfdgd．证“”由1,,,AAXfgLAXff存在由于)0()0)((gfXgfXA，又,.fgae故,.AAfgae，由命题3.2.4知AAXXfg,即AAfg．“”令()()0AAAAXfgfgfgd．即0dgfA，由命题3.2.5知，在A上..,0eagf，从而0)(gfXA.同理可证0)(gfX.又)()()(gfXgfXgfX0)(gfX，故在X上..,eagf.6．设),(XMf对任何可测集XA有0,Afd则..,0eaf.证令(0)AXf,则有0Afd，在A上，0,f则有0Afd，∴0()00AAAfdfdfd，由命题3.2.5，当0Afd时..,0eaf于A..,0eaf于A0A，故..,0eaf于X.7．求证：若),(XMf则À上的集函数:AAf是一个测度．证(1P)À；(2P)若nAÀ),,2,1(n则nAÀ；65(3P)若AÀ，则cAÀ，故À为X上的一个代数，(1Q)0f(即0)；(2Q)若nAÀ),2,1(n是互不相交的可测集,∵()fMX12cnnnnnnAXAAAAAAAfffff12cnnnnAAAAAXXXAfff1212nAAXXAAAfffff∴()nnnnAA故À上的集函数AfA:是一个测度.8．设1(),fLX对X上的任何有界可测函数g有0,Xfgd则eaf.,0.证:取0)(,10)(,00)(,1)(xfxfxfxg；则0XXfdfgd，故在X上eaf.,0..9．设1(),fLX则0,:,.cAAXAfd证已知1(),fLX由命题3.2.3(ii)知：111(0)()nnnXfXfAn∵nA为升列,则cnA为降列,又由3.2.7(ⅲ)知,)(nffAAcn66其中1\(0)cnnnAAXAXf∴0cnAf)(n∴0,,cNNAAXfd．最后让我们说明NA，此由已知1fL，故1NNXAffAN，即可知.10．设)(,XMfX，且..,eaf有限,,010nyyy),(max1kkkyy则Xfd10lim()nnnyXyfy.证令1()kkkeXyfy，则由积分单调性，得：1kkkkkeyefye.令1nnkkAe，则当ny时，nAX由积分的可加性，得111nnnkkkkAkkyefye．∵111()kkkkkkkkyyyyyyyy∴111()nnkkkkkkyeye11nnnkknkkAkkyeAfye利用积分的下连续性，令0,n，故10lim()nnnXnfdyXyfy.11．设,iXAX可测（1),ni每个Xx至少属于q个iA，则某个(/).iAqnX证∵dAXAii且xXx,至少属于q个iA．∴XqdXAi∴XqAnii1,iA使得(/).iAqnX若不然，则iA，均有XqAXnqAniii1，矛盾．12．设在Cantor集P上,0)(xf在P的长为n3的余区间上,)(nxf求67.10dmf解∵0mP∴0,cPfdmPP又∴10ccPPPfdmfdmfdmfdm令3,nnG则这样的nG共有12n个，且互不相交，又在nG上jiGGnf,，∴1101112123()63.232cnnnPnnfdmfdmnn13．设1(),(0)0,fLRff在0x可微，则1()xfx在R上可积.证（1）先证对适当的0,11,xfL可积由倒数定义知，/00()(0)()(0)limlim0xxfxffxfxx存在故对1,0，使得在,中，有/()(0)1fxfx∴1(),fxLx．（2）再证11()()[,),(,]fxfxLLxx．对上述0，当x时，有()()1fxfxfx．∵1[,)fL∴1()[,)fxLx，同理可证，1()(,]fxLx．综上所述，1()xfx在R上可积．14．设1[0,)fL一致连续，则()0()fxx.证不妨设0f，设当x时，()fx不趋于0，则存在0,对任意的n，总存在(1,2,),()nnxnnfx，因f一致连续，故0，使68得对每个nx，在每个,nnxx上，()2/fx，且,nnxx互不相交，从而[0,),122nnxxnff由此得出1[0,)fL，这与已知矛盾．故()0()fxx.15．设是X上的计数测度，1(),fL则有可数集nxX，使()nXfdfx.证不妨设0f由命题3.2.3（ii）知：1()(0)fLXf有有限测度，即存在,,nnAXA使得(0)nXfA有有限测度.由于是计数测度，nnAA．因为可数个可数集的并集还是可数集，所以nA是可数集．∴集(0)Xf是可数集.不妨设(0)Xf1nnx∴1()1().nnnnXXfoxxnfdffdfdfx16．设1(),,nnfMXgLgff或ngff，则()nXXfdfdn.证当ngff时，有0()()nfgfg，由Levi定理，有lim()lim()nnXXnnfgfg，又1(),()nnfMXgLfgMX，故积分1,2,nXfn都存在，同69样由于,nnffgf，也有gf，故Xfg存在，从而Xf也存在．∴lim()nXXXXXnfgfgfg∴()nXXfdfdn同理可证当ngff时，亦有上述结论．17．设nAX可测(1,2,),nnA，则几乎每个x至多属于有限个nA.证nAX可测nA可测则由Levi定理的推论知nnAAnXXA．∴1nAL∴nA在X上几乎处处有限.设{;BxXx属于无限多个nA},则0B.则几乎每个x至多属于有限个nA18．设nAX可测(1,2,),nB{:xXx至少属于k个nA}，则1nBkA.证首先证明对于可测集序列),2,1(nXAn，}:{nAkxXxB个至少属于是X中可测集．此由各nA可测，故各相应的特征函数)(xnA是X上的非负可测函数列．于是令11()lim()()kkmAAmkkfxxx，其中)(xf是单调上升可测函数列1211()()()nmmAmnFxFxFxxFx的极限函数，故)(lim)(xFxfmm也是可测函数，即()fMX，于是由可测函数为特征性质，)(kfX是X中可测集．注意到)(kfXxBx，于是证得)(kfXB可测．70其次，一方面显然有BkkxxfBBABn)()(，另一方面，由Levi定理，nXABABmmBAxxxFxfnn)()()(lim)(，于是得到nBAxfBk)(，即nAkB1．19．求101ln(1)1pxdxpxx解因为10,(0,1)1ppppnnxxxxxx，pnx(0,1,2)n在(0,1)非负连续，1ln(0,1]Mx由3.3.2可逐项积分，11100000111lnlnln1ppnpnnnxdxxdxxdxxxxx11120011111(ln()011pnpnnxxxdxpnxpnx)10111(0)011pnnxpnpn201(1)npn．20．设(),nfMX若1nfgL，则XXnnnndfdflimlim；若1,nfgL则XXnnnndfdflimlim．证(ⅰ)若1nfgL，则)(0XMgfn由Fatou定理，有XXnnnndgfdgf)(lim)(lim∵1gL∴