第八章流场计算的新方法90年代后期相继发展了几类新

第八章流场计算的新方法90年代后期相继发展了几类新的差分格式和技术TVD格式：总变量衰减格式（TotalvariationDiminishing）ENO格式：基本无振震格式（EssentiallyNonOscillatory）NND格式：无振震、无自由参数、无耗散格式（Nonoscillatorycontainingnofreeparametersanddissipativescheme）谱方法：快速付立叶变换方法自适应网格技术（AdaptiveMeshes）多重网格方法并行计算与向量计算非结构网格及其应用无网格方法§8-1TVD方法一、模型精度与网格技术•流动区域：光滑区、边界层、剪切流动区、分离流区、激波和含有间断面的区域。•流动结构与尺寸网格尺度与流体运动结构尺度相对应•光滑区：参数变化光滑易于构造差分格式重点是提高求解效率•对于粘性影响区与无粘区可根据流场特点简化简化的N-S（抛物化N-S方程）•分离流涡运动无粘特征和粘性特征都很明显（大涡控制）2.激波附近的数值解激波装配法：把间断面分开成内外边界，边界采用激波关系式不适用于未知激波（悬挂激波）激波捕捉法：采用统一方法进行计算一阶格式：激波附近无振震，但会抹平激波二阶格式：激波附近会产生非物理振震高阶格式：需要采用人工粘性抑制TVD格式：具有较高的激波分辨率ENO格式：问题是：①.是否具有二阶精度。②.是否满足熵条件。3.粘性流计算中的网格与逼近精度误差来源：真实粘性被差分截断误差掩盖例：伯格斯方程（一维粘性流方程）CRcxuxuCtue022令及如果坐标变换满足上式没有一阶空间导数。若则坐标变换方程的解为：][Re)(]Re1[22222yuCuCtuxxuxuCtuxxxx令222ReReuCtuxxxx则1)1(,0)0(1exp(Re)1)exp(Re)(Xx上式表明在计算平面内网格点是均匀分布的，物理平面接近x=0处是加密的0x差分算子njnjnjxnjnjnjnjxxxxnjnjnjxnjnjnjxnjnjnjxuuuuuuuuuuuuuuuu2121112011011222原方程的差分格式2201xuxuctunjxnjxnjt定义网格ReRexRxenjxnjxxenjnjuuRxctuu0211则网格雷诺数在差分方程中起着权衡作用，代表着惯性力与粘性力各自起作用的大小不同。单调性(u(x))要求:各系数为非负数2Re,21221Re121111xnjnjnjnjnjxxttuuuuuxc（差分方程粘性稳定性条件）在粘性计算时的要求网格雷诺数与流场性质相关粘性起主导作用的区域网格Re较小无粘占主导作用的区域Re很大，可以不考虑网格Re影响二、一阶逼近精度的TVD格式激波捕捉法的困难①流场参数梯度较大区，二阶或高阶精度格式有非物理震荡产生②可能出现非线性不稳定③可能出现非物理解已知的结论：①一阶逼近可得到满足熵不等式的惟一物理解（弱解）②二阶或高阶格式求解具有间断面的物理问题时需要加人工粘性，克服伪装解，但引起信息丢失③新发展差分格式具有两个特点（TVD）对非线性方程及常系数双曲性方程总变差衰减守恒律与熵不等式相容TVD具有一阶精度和上述新特点ENO具有二阶精度和上述新特点1.TVD格式的物理考虑总变差：一元函数U(X)的定义域被划分成间隔的多段TV(u)为的上界jjjxuxu)()(1x1()sup()()jiTVDxuxuxxOj-1Jj+1xxxdxxu对离散函数函数（k=,…,）2.显示TVD格式对于简单的方程三点守恒差分格式为xUkkuuuTV1)(0xftu)(2/12/11njnjnjnjhhuu12/1,jjjuuhhxt11112221121112212121()2,0=0ajjjjjnjjjjxjjjjjjjjjhffauffuuuuuffuuaauu其中是和的待定函数三种典型的数值通量形式(1)L-W格式221221121)(21aauaffhjjjjj要相容条件:,h称为数值通量+1jjjhuufu，112121121auffhjjjj(2)L-F格式（Lax-Friedrichs）(3)GCIR格式（GeneralizationofCourat-Isaacon-Reesscheme）aa如果满足以下条件，则为TVD格式1)(0202212121212121212121jjjjjjjjjaCCaaCaaC------TVD格式的充分条件TVD格式不满足熵不等式，因此可能收敛于非物理解改进的通量函数（与熵不等式相容）nnuTVuTV11121212zzzz3.隐式TVD格式具有单参数的五点守恒差分格式设则))(1()(2/12/112/112/11njnjnjnjnjnjhhuhhu101,),,,,(2112/12/1nnkuuuuhhkjkjkjkjjkj12/12/12/1)1(njnjjhhh)(2/12/11jjnjnjhhuu其中通量相容条件当时，得到显示格式当时，得到梯形格式当时，得到欧拉时间后差格式11111/211112(,,,,,,)nnnnnnnjjjjjjjjhhuuuuuuu0),,,,,,,(uuuuuuuuh0211用差分算子表示这一差分格式其中算子此格式为TVD的充分条件是nnRuLu1))(1()()()(21212121jjjjjjjjhhuRuhhuLu)()()()(1nnnnuTVLuTVuTVRuTV4、半离散形式的TVD格式只在空间离散，则离散方程为若，则方程具有TVD特征。uxcuxcdtdujjjjj21212121021jc112121122112()()1010[()]()jjjjjjjjjTVuSuuuSuddTVuSuudtdt若若总变差ucuccucSxjjjjjjjj2/12/12/12/12/12/32\32\1)(1uVxjvj2/12/110d00)(21j2/12/1232/12/12/12/12/12/121uTVdtuVcSCSCSccVjjjjjjjjjj同符号，故或与则若其中三、高阶TVD格式构造用一阶TVD格式构造二阶TVD格式用L-W格式构造二阶TVD格式利用限量因子（limiter)限制函数或通量函数的梯度变化迎风或对称TVD格式利用迎风格式或中心格式采取限量因子构造的TVD格式1.利用迎风格式构造的TVD迎风格式+反扩散法对流通量fjjgffgff修正量jujfuaffhhhuhhujjjjjnjnjnjnjnjnj21212121211211211)(21)1(对于修正后的通量列出差分格式11112222minmod(,)jjjjjguu211()()()22zzz其中，111222jjjaar111220jjjjggur12(0)ju12(0)ju函数minmod的定义为minmod(,)()max{0,min[,()]}xysqnxxysqnx意义x,y同号，则其绝对值最小值，x,y异号，则其0这样构成的格式既保持了TVD格式特性，又提高了格式精度2、利用中心型差分格式构造显式二阶TVD格式对称TVD格式：用中心差分构造的TVD利用L－W格式构造二阶精度TVD格式设有标量方程0uuCtxC＝常数0用L－W格式10221()()2nnnnjjxjxjtuuuuCx改写后11{(1)}2nnnnjjxjxxjuuuu此格式第一部分为一阶迎风格式第二部分为反扩散修正项引入限量因子控制反扩散量，格式满足TVD特性0j11{(1)}2nnnnjjxjxjxjuuuu选择的方法jnxjjnxjuu()2r且非负()0(0)rr()0(,())2rrr几种形式的取法（1）（2）（3）02（Roe-Sweby）()1rrrr()max{0,min(2,1),min(,2)}rrr范利尔（VanLeer）查克拉瓦特-奥雪尔（Chakravarthy-Osher）小结新的格式TVD格式ENO格式NND格式新方法谱方法自适应网格多重网格方法并行计算与向量计算非结构网格及其应用无网格方法格子波二茨曼方法新方法湍应力模型LESDESDNS