函数的基本性质

函数的基本性质一、单调性定义1．单调性定义：设函数f(x)的定义域为A，区间M⊆A，若对于任意的x1，x2∈M，当x1x2时，都有f(x1)__f(x2)，则f(x)为区间M上的增函数．对于任意的x1，x2∈M，当x1x2时，都有f(x1)__f(x2)，则f(x)为区间M上的减函数．2．证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明．二、单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)0，则1为减(增)函数，为增(减)函数．3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．5．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．三、函数单调性的应用有：(1)比较函数值或自变量值的大小．(2)求某些函数的值域或最值．(3)解证不等式．(4)作函数图象．四、函数的最大(小)值：定义：一般地，设函数y＝f(x)定义域为Ⅰ，如果存在实数M满足：(1)对任意x∈Ⅰ，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；(2)存在x0∈Ⅰ，使得f(x0)＝M.称M是函数y＝f(x)的最大(或最小)值．五、复合函数的单调性对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么函数y＝f[g(x)]在区间(a，b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域.t＝g(x)y＝f(t)y＝f[g(x)]增增增增减减减增减减减增六、解题技巧1．函数单调性的证明方法(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．(2)设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)0，则f(x)在区间D内为减函数．2．函数最值的求法(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法．1.(2010·天津模拟)函数y＝log12(－x2－2x＋3)的单调递增区间为________．2.(文)函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为()A.12B．2C．4D.143.(文)(2010·济南市模拟)设y1＝0.413，y2＝0.513，y3＝0.514，则()A．y3y2y1B．y1y2y3C．y2y3y1D．y1y3y24．(2012·保定一中质检)已知f(x)为R上的减函数，则满足f1xf(1)的实数x的取值范围是()．A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5.(文)(2011·大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是()A．y＝log0.5(1－x)B．y＝x0.5C．y＝0.51－xD．y＝12(1－x2)6．(2011·江苏南通中学月考、北京东城示范校练习)设a＝log132，b＝log1213，c＝120.3，则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜c7．(文)(2011·北京模拟)设函数f(x)＝23x－1x≥01xx0，若f(a)a，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(0,1)8．(2011·青岛模拟)已知函数f(x)＝ax＋logax(a0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为()A.12B.14C．2D．49．(文)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．10.(文)(2011·平顶山一模)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有fx2－fx1x2－x10，则()A．f(3)f(－2)f(1)B．f(1)f(－2)f(3)C．f(－2)f(1)f(3)D．f(3)f(1)f(－2)11．(文)已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．一、函数的奇偶性1．奇偶性的定义设函数y＝f(x)的定义域为D，若对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝______(或f(－x)＝_____)成立，则称f(x)为奇函数(或偶函数)．2．关于奇偶性的结论与注意事项(1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的．显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数．(3)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么f(0)＝0；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为{0}，但逆命题不成立．若f(x)为偶函数，则恒有f(x)＝f(|x|)．(4)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．(5)两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇(偶)函数之积、商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数(以上函数都不包括值恒为0的函数)．二、函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝____，那么函数f(x)叫做周期函数．T叫做这个函数的一个周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做它的最小正周期．(2)一般我们提到函数的周期是多少，指的是最小正周期；如果T是f(x)的周期，则kT(k∈N*)也是该函数的周期；周期函数不一定有最小正周期．1.(2011·北京西城一模)下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝2|x|B．y＝x2－xC．y＝2xD．y＝x32.(2010·北京西城区抽检)下列各函数中，()是R上的偶函数()A．y＝x2－2xB．y＝2xC．y＝cos2xD．y＝1|x|－13.(文)(2011·辽宁文，6)若函数f(x)＝xx＋x－a为奇函数，则a＝()A.12B.23C.34D．14.(文)(2011·湖南文，12)已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.5．(文)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)的值等于()A．－1B.114C．1D．－1146.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝(12)x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________．7．(文)(2011·合肥模拟)设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)＝f(x＋1x＋4)的所有x之和为()A．－92B．－72C．－8D．88．(文)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝2对称，且当x∈(－2,2)时，f(x)＝－x2＋1.则f(－5)＝________.9.(文)(2010·安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1B．1C．－2D．210．(文)(2011·济南模拟)函数f(x)(x∈R)是周期为3的奇函数，且f(－1)＝a，则f(2011)的值为()A．aB．－aC．0D．2a11．(2011·青岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋3)＝1－fx，则f(2010)的值为()A．－2－3B．－2＋3C．2－3D．－3－312．(文)已知函数f(x)＝1－42ax＋a(a0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x∈(0,1]时，tf(x)≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．