实验2-连续时间系统的频域分析、复频域分析

实验二、连续时间系统的频域分析、复频域分析一、实验目的1、学会用MATLAB实现连续时间信号傅里叶变换2、学会用MATLAB分析LTI系统的频域特性3、学会用MATLAB分析LTI系统的输出响应4.学会用MATLAB进行Laplace正、反变换。5.学会用MATLAB画连续时间系统零极点图，系统的稳定性判断6.学会用MATLAB分析连续系统的频率特性；二、实验原理及程序示例频域部分：1．傅里叶变换的MATLAB求解MATLAB的symbolicMathToolbox提供了直接求解傅里叶变换及逆变换的函数fourier()及ifourier()两者的调用格式如下。Fourier变换的调用格式F=fourier(f)：它是符号函数f的fourier变换默认返回是关于w的函数。F=fourier(f，v):它返回函数F是关于符号对象v的函数，而不是默认的w，即()()jvxFvfxedxFourier逆变换的调用格式f=ifourier(F):它是符号函数F的fourier逆变换，默认的独立变量为w，默认返回是关于x的函数。f=ifourier(f,u):它的返回函数f是u的函数，而不是默认的x.注意：在调用函数fourier()及ifourier()之前，要用syms命令对所用到的变量（如t,u,v,w）进行说明,即将这些变量说明成符号变量。例3-1求2()tfte的傅立叶变换解:可用MATLAB解决上述问题：symstFw=fourier(exp(-2*abs(t)))例3-2求21()1Fjw的逆变换f(t)解：可用MATLAB解决上述问题symstwft=ifourier(1/(1+w^2),t)2．连续时间信号的频谱图例3-3求调制信号ttAGtf0cos)()(的频谱，式中)2()2()(,21,12,40tututGA解：MATLAB程序如下所示ft=sym('4*cos(2*pi*6*t)*(Heaviside(t+1/4)-Heaviside(t-1/4))');Fw=simplify(fourier(ft))subplot(121)ezplot(ft,[-0.50.5]),gridonsubplot(122)ezplot(abs(Fw),[-24*pi24*pi]),grid3.用MATLAB分析LTI系统的频率特性当系统的频率响应H（jw）是jw的有理多项式时，有11101110()()()()()()()()()MMMMNNNNbjwbjwbjwbBwHjwAwajwajwajwaLLMATLAB信号处理工具箱提供的freqs函数可直接计算系统的频率响应的数值解。其调用格式如下H=freqs(b,a,w)其中，a和b分别是H(jw)的分母和分子多项式的系数向量，w为形如w1:p:w2的向量，定义系统频率响应的频率范围，w1为频率起始值，w2为频率终止值,p为频率取样间隔。H返回w所定义的频率点上，系统频率响应的样值。例如，运行如下命令，计算0~2pi频率范围内以间隔0.5取样的系统频率响应的样值a=[121];b=[01];h=freqs(b,a,0:0.5:2*pi)例3-4三阶归一化的butterworth低通滤波器的频率响应为321()()2()2()1Hjwjwjwjw试画出该系统的幅度响应()Hjw和相位响应()。解其MATLAB程序及响应的波形如下w=0:0.025:5;b=[1];a=[1,2,2,1];H=freqs(b,a,w);subplot(2,1,1);plot(w,abs(H));grid;xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('|H(j\omega)|');title('H(jw)的幅频特性');subplot(2,1,2);plot(w,angle(H));grid;xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('\phi(\omega)');title('H(jw)的相频特性');4．用MATLAB分析LTI系统的输出响应例3-5已知一RC电路如图所示系统的输入电压为f(t)，输出信号为电阻两端的电压y(t).当RC=0.04，f(t)=cos5t+cos100t,t试求该系统的响应y(t)解由图可知，该电路为一个微分电路，其频率响应为()11RjwHjwRjwCjwRC由此可求出余弦信号0cost通过LTI系统的响应为000()()cos(())ytHjwt计算该系统响应的MATLAB程序及响应波形如下RC=0.04;t=linspace(-2,2,1024);w1=5;w2=100;H1=j*w1/(j*w1+1/RC);H2=j*w2/(j*w2+1/RC);f=cos(5*t)+cos(100*t);y=abs(H1)*cos(w1*t+angle(H1))+abs(H2)*cos(w2*t+angle(H2));subplot(2,1,1);plot(t,f);ylabel('f(t)');xlabel('Time(s)');subplot(2,1,2);plot(t,y);ylabel('y(t)');xlabel('Time(s)');复频域部分1、用MATLAB进行复频域分析用MATLAB分析LTI系统的特性系统函数H（s）通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。计算H（s）的零极点可以应用MATLAB中的roots函数，求出分子和分母多项式的根，然后用plot命令画图。在MATLAB中还有一种更简便的方法画系统函数H（s）的零极点分布图，即用pzmap函数画图。其调用格式为pzmap(sys)sys表示LTI系统的模型，要借助tf函数获得，其调用格式为sys=tf(b,a)式中，b和a分别为系统函数H（s）的分子和分母多项式的系数向量。如果已知系统函数H（s），求系统的单位冲激响应h(t)和频率响应H（j）可以用以前介绍过的impulse和freqs函数。例3-6已知系统函数为321221sssH(s)=试画出其零极点分布图，求系统的单位冲激响应h(t)和频率响应H（j），并判断系统是否稳定。解：其MATLAB程序如下：num=[1];den=[1,2,2,1];sys=tf(num,den);subplot(311);pzmap(sys);t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t);subplot(312);plot(t,h)title('ImpulseResponse')[H,w]=freqs(num,den);subplot(313);plot(w,abs(H))xlabel('\omega')title('MagnitudeResponse')2、用MATLAB进行Laplace正、反变换MATLAB的符号数学工具箱提供了计算Laplace正、反变换的函数Laplace和ilaplace,其调用格式为()()FlaplaceffilaplaceF上述两式右端的f和F分别为时域表示式和s域表示式的符号表示，可以应用函数sym实现，其调用格式为S=sym(A)式中，A为待分析表示式的字符串，S为符号数字或变量。例3-7试分别用Laplace和ilaplace函数求（1）()sin()()tfteatut的Laplace变换；（2）22()1sFss的Laplace反变换。解：（1）其程序为f=sym('exp(-t)*sin(a*t)');F=laplace(f)或symsatF=laplace(exp(-t)*sin(a*t))（2）其程序为F=sym('s^2/(s^2+1)');ft=ilaplace(F)或symssft=ilaplace(s^2/(s^2+1))3、系统函数的零极点分布、稳定性分析、幅频响应曲线、相频特征曲线例3-7：已知系统函数如下：6171774)(2322ssssssH，用matlab绘制零极点分布图，并判断系统的稳定性。程序：A=[1717176];B=[104];p=roots(A);q=roots(B);p=p';q=q';x=max(abs([p,q]));x=x+0.1;y=x;clfholdonaxis([-x,x,-y,y])axis('square')plot([-xx],[00])plot([00],[-yy])plot(real(p),imag(p),'x')plot(real(q),imag(q),'o')title('连续时间系统的零极点图')text(0.2,x-0.2,'虚轴');text(y-0.2,0.2,'实轴');例3-8系统函数zzzH5.0)(运行如下语句，可得10个频率点的计算结果A=[10];B=[1-0.5];[H,W]=freqz(B,A,10)继续运行如下语句，可将400个频率点的计算结果用plot语句画幅频和相频曲线B=[1-0.5];A=[10];[H,w]=freqz(B,A,400,'whole');Hf=abs(H);Hx=angle(H);clffigure(1)plot(w,Hf)title('离散系统幅频特性曲线')figure(2)plot(w,Hx)title('离散系统相频特性曲线')还可用freqz语句直接画图，注意区别A=[10];B=[1-0.5];freqz(B,A,400)四、实验内容与步骤（1）仔细阅读并验证执行以上LTI系统时域分析程序实例（2）试用MATLAB求单边指数数信号2()()tftet的傅立叶变换，并画出时域波形与频谱图；（3）设21()0.08()0.41Hjwjwjw，试用MATLAB画出该系统的幅频特性()Hjw和相频特性()，并分析系统具有什么滤波特性。（4）求信号)()(3ttetft的拉普拉斯变换（5）求函数23795)(223ssssssF的反变换（6）已知连续系统的系统函数如下，试用MATLAB绘制系统的零极点图，并根据零极点图判断系统的稳定性23223546sssssH(s)=五、实验报告要求（1）整理并给出“实验内容与步骤”（2）-（6）中的程序代码与产生的图形；并回答下面的问题。（2）在“实验内容与步骤”6中，连续时间系统稳定性的判断依据是什么？