变量分离方程

§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform§2.1变量分离方程与变量变换SeparableFirst-OrderODE&Transform§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform•本节要求/Requirements/1熟练掌握变量分离方程，齐次方程的求解方法。2熟练掌握运用变量变换将方程化为熟知类型求解的思想方法，求更广泛类型方程的解。变量分离方程与变量变换特点变量分离方程解法举例齐次方程可化为变量分离的类型可化为齐次方程的类型•内容提要/MainContents/§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform1变量分离方程/VariablesSeparatedODE/()()(2.1)dyfxydx)(),(yxf分别是x与y的已知连续函数。其中特点),(yxfdxdy中的f(x,y)可表示成)()(),(yφxfyxf一般的一阶方程yxdxdy例kRR§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform解法步骤/SolvingSteps/如果0)(y(1)分离变量dxxfydy)()((2)两边积分dxxfydy)()(…………(2.2)用G(y)，F(x)分别表示)()(1xfy及的某一个原函数(3)方程（2.1）的通解为G(y)=F(x)+C§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform因为将y视为x的函数，对G(y)=F(x)+C两端关于x求导，)()(1xfdxdyy)()(yxfdxdy所以，（2.2）为方程(2.1)的通解。如果存在iy直接验证得:，使得kiyi,,2,1,0)(iyy为方程(2.1)的常数解。分离变量方程（2.1）的解为kiyyCxFyGi,,2,1,)()(§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform解1分离变量xdxydy2两边积分xdxydy22222cxy3yxdxdy例1求解方程01)(yycyx22（c为任意正常数）或者2xcy求通解§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform解0y时(1)分离变量xdxydycos2通解中，因而方程还有解y=0cxdxydycos2cxysin1（3）求解方程xydxdycos2并求出满足初始条件：当x=0时y=1的特解。例2cxysin1（c为任意常数）为方程的通解。注意y=0时，也是方程的解，而其并不包含在(2)两边积分§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform求特解将初始条件y(0)=1代入通解中，得c=-1则满足所给条件的特解为:1sin1xy所以，原方程的解为0sin1ycxy§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform(1)齐次方程/HomogeneousEquation/(2)可化为齐次方程的方程类型/ClassificationsofHomogenous/2可化为变量分离方程的类型/ClassificationsofVariableSeparatedEquation/§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform(1)齐次方程/HomogeneousEquation/形式：)(xygdxdyg(u)为u的连续函数一般方程的右端函数f(x,y)是x，y的零次齐次式。即)(),(xygyxf00kyxfxygkkxkygkgkxf),()()(),(或f(x,y)可表示成以为整体变量的函数。xy特点：§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform解法(1)作变量变换uxy即y=ux（2）对两边关于x求导udxduxdxdy（3）将上式代入原方程，得)(ugudxdux整理))((1uugxdxdu……….(2.3)变量可分离方程（4）求解方程(2.3),若其解为:0),,(),(cxucxu或(5)原方程的通解为:0),,(),(cxxycxxy或§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transformudxduxdxdyuuudxduxtanxudxdutan………………………………..(2.4)xdxudutandxxuud1sinsincxu~lnsinlnc~(为任意常数)例3求解方程xyxydxdytan解令uxyxyu或,§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transformcxu~lnsinlnc~(为任意常数)xeuc~sinxeuc~sin令cec~得:Sinu=cx（c为非零任意数）另当tanu=0时，u=0即u=0也是方程(2.4)的解故（2.4）的通解为sinu=cx（c为任意常数）代回原来的变量，原方程的通解为:cxxysinxudxdutan§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform(2)可化为齐次方程的类型/ClassificationsofHomogenous/形式：222111cybxacybxadxdy……………(2.5)2,1,,,icbaiii均为常数，且21,cc不同时为零.1.若02211baba即2121bbaa设kbbaa21212121,kbbkaa则原方程可化为:)()(22222122ybxafcybxacybxakdxdy§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform令ybxau22dxdybadxdu22)(22ufbadxdu（变量分离方程，即可求解）2.若02121bbaa则00222111cybxacybxa……………..(2.6)有唯一的解:),(令yYxX)()(22222122ybxafcybxacybxakdxdyYyXx或§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform则方程(2.5)化为：dXdY为齐次方程,即可求解。)(2211XYgYbXaYbXadXdYdxdy222111)()()()(cYbXacYbXa)()(2222211111cbaYbXacbaYbXa§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform(1)解代数方程组00222111cybxacybxa…………….(2.6)其解为:yx,(2)作变换YyXx,将方程(2.5)化为齐次方程YbXaYbXadXdY2211(3)再作变换XYU将其化为变量分离方程特别地，当时，方程(2.5)的求解方法02121bbaa(4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程的解。§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform类似的方法，可求解更广泛的方程P.26)(222111cybxacybxafdxdy例4求解方程31yxyxdxdy…..(2.17)解解方程组0301yxyx得x=1,y=2令21YyXxYXYXdXdY……….(2.18)§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform再令uXYXYu即YXYXdXdY……………………….(2.18)即(2.18)可化为:duuuuXdX2211两边积分，得:cuuX~12lnln22因此ceuuX~22)12(udXduXdXdYuuudXduX11uuuuuuudXduX1)1(111)21()21(2122uuduu记1~cec并代回原变量，得:122)12(cuuX§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform并代回原变量，得:1222cXXYY122)1()2)(1(2)2(cxyxy此外，容易验证:0122uu即0222XXYY也是方程(2.18)的解。cxyxxyy26222其中c为任意常数。因此原方程(2.17)的通解为:§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform变量分离方程与变量变换可化为齐次方程的类型齐次方程可化为变量分离的类型举例解法特点变量分离方程本节小结/Conclusion/通解的形式及其中任意常数的意义。注意/Note/：§2.1SeparableFirst-OrderODE&Transform)(22xyfdxdyx)(42xyxfdxdy•课堂练习/Exercise/yxpdxdy)(1yxedxdy22)(13yxdxdyyyyxxxyxdxdy322323324•思考以下方程的求解方法)(1cbyaxfdxdy0)()(3dyxyxgdxxyyf•作业:P.31.第2,3,5,8,11,13,16,18(1),21题。