三角函数知识点及简单例题

三角函数任意角三角函数任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P的坐标是yx,，它与原点的距离是)0(rr，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是yrxryxxyrxrycsc,sec,cot,tan,cos,sin.这六个函数统称为三角函数.三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.三、经典例题导讲[例1]填入不等号：（1）；（2）tan3200_______0；（3）；（5）。[例2]若A、B、C是ABC的三个内角，且)2(CCBA，则下列结论中正确的个数是（）①.CAsinsin②.CAcotcot③.CAtantan④.CAcoscosA．1B.2C.3D.4[例3]若角满足条件0sincos,02sin，则在第（）象限.[例4]已知角的终边经过)0)(3,4(aaaP，求cot,tan,cos,sin的值.[例5]已知是第三象限角，化简sin1sin1sin1sin1三角函数基本关系式与诱导公式平方关系：1cossin22；商数关系：cossintan；倒数关系：1cottan三角函数的诱导公式：1sin2sink，cos2cosk，tan2tankk．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．口诀：函数名称不变，符号看象限．5sincos2，cossin2．6sincos2，cossin2．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．[例1]已知cot051cossin），则，（，__________[例2]求证：（1）sin（2π3－α）=－cosα；（2）cos（2π3+α）=sinα．[例3]若函数)2cos(2sin)2sin(42cos1)(xxaxxxf的最大值为2，试确定常数a的值.[例4]化简：790cos250sin430cos290sin21．三角函数的恒等变换1.两角和、差、倍、半公式两角和与差的三角函数公式sincossinsin)sin(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(二倍角公式cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos2tan1tan22tan半角公式2cos12sin2，2cos12cos2，cos1cos12tan2sincos1cos1sin2tan[例1]13.已知23sincos,223那么sin的值为,cos2的值为;[例2]△ABC中，已知cosA=135，sinB=53，则cosC的值为（）A.6516B.6556C.6516或6556D.6516[例3]求值：21(3tan123)sin124cos122[例4]已知函数2()(cossincos)fxaxxxb（1）当0a时，求()fx的单调递增区间；（2）当0a且[0,]2x时，()fx的值域是[3,4],求,ab的值.三角函数的图像与性质)sin(xAy+)0,0(AB中，,,BA及，对正弦函数xysin图像的影响，应记住图像变换是对自变量而言.xy2sin向右平移6个单位，应得)6(2sinxy，而不是)62sin(xy用“五点法”作)sin(xAy)0,0(A图时，将x看作整体，取2,0，2,23,来求相应的x值及对应的y值，再描点作图.)sin(xAy)0,0(A单调性的确定，基本方法是将x看作整体，如求增区间可由22kx)(22zkk解出x的范围.若x的系数为负数，通常先通过诱导公式处理.[例1]为了得到函数62sinxy的图像，可以将函数xy2cos的图像（）A向右平移6B向右平移3C向左平移6D向左平移3[例2]要得到y=sin2x的图像,只需将y=cos(2x-4л)的图像()A.向右平移8лB.向左平移8лC.向右平移4лD.向左平移4л[例3]下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+4),其中以点(4,0)为中心对称的三角函数有（）个.A．1B．2C．3D．4[例4]函数]),0[)(26sin(2xxy为增函数的区间是()A.]3,0[B.]127,12[C.]65,3[D.],65[[例5]已知定义在区间]32,[上的函数)(xfy的图像关于直线6x对称，当]32,6[x时，函数)22,0,0()sin()(AxAxf，其图像如图所示.（1）求函数)(xfy在]32,[的表达式；（2）求方程22)(xf的解.xyoπ16x326解三角形及三角函数的应用解三角形的的常用定理:(1)内角和定理:CBA结合诱导公式可减少角的个数.(2)正弦定理:RCcBbAa2sinsinsin（R指△ABC外接圆的半径）)sin21sin21sin21(BacAbcCabS(3)余弦定理:222cos2cCabba及其变形.(4)勾股定理:222cbaABCRt中[例1]在ABC中，已知80a，100b，045A，试判断此三角形的解的情况。[例2]在ABC中，已知23a，62c，060B，求b及A[例3]在ABC中，060A，1b，面积为32，求sinsinsinabcABC的值[例4]如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=51，ACB=75。求A、B两点的距离(精确到0.1m)[例5]如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01nmile)