垂径定理知识点及典型例题

垂径定理一、知识回顾1、到定点距离等于的点的集合叫做圆，定点叫做，定长叫做；连接圆上任意两点间的线段叫做，经过圆心的弦叫做；圆上任意两点间的部分叫做，它分为、、三种。2、能够的两个圆叫做等圆；能够互相的弧叫做等弧，他只能出现在中。3、圆既具有对称性，也具有对称性，它有对称轴。4、垂直于弦的直径，并且；平分弦（不是直径）的直径，并且。5、顶点在的角叫做圆心角；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等，也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的、、；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的、、。6、顶点在，并且相交的角叫做圆周角。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的；在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧。7、半圆（或直径）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是。8、如果一个多边形的都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的。圆的内接四边形。二、典例解析例1如图，某市新建的滴水湖是圆形人工湖，为了测量该湖的半径，小明和小亮在湖边选取A、B、C三根木桩，使得A、B之间的距离等于A、C之间的距离，并测得BC=240m，A到BC的距离为5m。请帮忙求出滴水湖的半径。变式1如图，半径为6的E在平面直角坐标系中，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，已知C（0,3）、D（0，-7），求圆心E的坐标。CBAOyxEODCBA变式2已知O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=10cm，CD=24cm，求AB和CD之间的距离。变式3如图，O的直径AB=15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在半圆AMB上滑动（点C与点A，点D与点B不重合），且CE⊥CD交AB于点E，DF⊥CD于点F。（1）求证：AE=BF；（2）在动弦CD的滑动过程中，四边形CDFE的面积是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请予以证明并求出这个值。变式4如图，某地方有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一竹排运送一货箱欲从桥下通过，已知货箱长10米，宽3米，高2米，问货箱能否顺利通过该桥？例2如图，BC是O的直径，OA是O的半径，弦BE∥OA。求证：弧AC=弧AE。MFEDCBAOHDNMFECBAOECBA变式1如图，BC是O的直径，D是O上一点，使AD=AC，O的半径为4，B=30，求ACD的面积。变式2如图，半径OA⊥OB，弦AC⊥BD于E，试说明AD∥BC。变式3如图，ABC的三个顶点都在O上，O外一点E与B的连线交O于点D，连接CD。（1）求证：EDA=ACB；（2）若ADE=ADC，求证：ABC是等腰三角形。ODCBAOEDCBAOEDCBA