王淑华固体物理答案第二章

第二章晶体中原子的结合2.1由N个原子（离子）所组成的晶体的体积V可写为。式中，v为每个原子（离子）平均所占据的体积；R为粒子间的最短距离；是和结构有关的常数。试求下列各种结构的值：(1).简单立方点阵；(2).面心立方点阵；(3).体心立方点阵；(4).金刚石结构；(5).氯化钠型结构。3RNβNvN式中，V为晶体体积，N为晶体包含的原子数，v为每个原子平均占据的体积。若以N表示晶体包含的晶胞数，V中每个晶胞的体积，n表示晶胞中所含的粒子数，则(1)式完全等效于解：题给表示晶体3RNβNvN(1)3RnβNnvNVNV于是得3nRVβ(2)R为离子间的最短距离。题给的各种晶格均为立方格子，如令其晶格常数为a，则有3aV。可由式(2)直接求出各种格子的值。所得结果列表如下：晶格(a)晶包体积（）晶胞中包含粒子数（n）离子间最短距离结构常数（）简单立方1a1面心立方40.71体心立方20.77金刚石结构81.54氯化钠结构813a3a3a3a3aa22a23a43a21Vβ2.2证明有两种离子组成的、间距为的一维晶格的马德隆常数。0R2ln2μ证明：选取负离子O为参考离子，相邻两离子间的距离用R表示。第j个离子与参考离子的距离可表示为Rαrjoj。对于参考离子O，它与其它离子的互作用势能为AOBCABCoj2joj0rezzujjjojjojoj2jojα1zz2RNαzz2RNrezz2NU马德隆常数2ln241312112α1jj2.3设两原子间的互作用能可由nmrrru表述。式中第一项为吸引能，第二项为排斥能；均为正的常数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须mn。βα,0rr且0rru0r20rru0r即当时，证明：相互作用着的两原子系统要处于稳定平衡状态，相应0r于平衡距离处的能量应为能量的极小值，因为nmrβrαru0rβnrαmrru1n01m0r0解之有mn10αβmnr（1）因而nm1rαrβrαrum0n0m0其次，对应于处能量取极小值，应有0r0rβ1nnrα1mmrru2n02m0r220于是1rα1mmβ1nnnm0把（1）式代入，即得1mαnβα1mmβ1nn1所以mn1,1m1n这个结果表明，排斥力是短程力，与吸引力相比较，它随原子间的距离的变化更陡峭。2.4有一离子晶体，其总互作用势能表示为n2RBRαeNRU试问当离子电荷加大1倍时，平衡离子间距、互作用势能和体积弹性模量将受何影响？解：按题给n2RBRαeNRU由平衡条件0RnBRαeNRU1n0202R0得到离子平衡间距作为离子带电状态的函数1n120αenBeR从而晶体的内能也作为离子带电状态的函数n11ReNeURU020α（1）（2）由（1）、（2）两式可知，当离子带电量加倍时，则有eR42eαnB2eR0n111n120eU4n112eRe4N2eU1nn02α体积弹性模量可按下式求出e18Rαe1neK402eK42e18R2eα1n2eK1n3n4022.5有一晶体在平衡时的体积为，原子间总的互作用能为。若原子间互作用能由式表述，试证明晶体的体积弹性模量为。0V0Umnrβrαru009VmnUK证明：设晶体共含有N个原子，则总能量为ijjiru21RU由于晶体表面层的原子的数目与晶体内原子数目相比少得多，因此可忽略它们之间的差异，于是上式简化为ijjru2NRU设最近临原子间的距离为R，则有Rarjij再令njjnmjjma1A,a1A得到nnmmRβARαA2NU平衡时0RR，则由已知条件00URU，得0n0nm0mURβARαA2N由平衡条件0dRRdU0R得(2)0RAβnRAαm2N1n0n1m0m由（1）、（2）两式可解得n00nm00mmRnmN2UβAnRnmN2UαA利用体积弹性模量公式0R22020RU9VRK得n0nm0m0RβA1nnRαA1mm2N9V1KnmNmR2UR1nnnmNnR2UR1mm2N9V1n00n0m00m00009VmnU由于0U0，因此，于是009VmnUK0UU2.6已知有N个离子组成的NaCl晶体，其结合能为n2rβrαe2NrU04今若排斥项由来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对互作用势能的贡献相同，试求出n与的关系。nrβρrcexpρ已知n0rβρrcexp0（1）由ρrcexpr4παe2NrU20ε解：晶体平衡时，原子间最近邻距离一定为（不因求解时排斥势选择不同而不同）0r0r0ρrexpρcr4παe2NrU02002r0得ρrexpρcr4παe02002又n2rβrαe2NrU040rnβr4παe2NrU1n02002r0（2）得n0002rnβr4παe（3）将（1）、（3）两式代入（2）式可得ρrexpρcrnβr10n00ρ1rn0即ρrn02.7立方ZnS的晶格常数a=5.41A，试计算其结合能。molJEb解：已知公式n11R8πNμE0b02εq和1.64μ5.4n229cNm1094π10εOA2.34a43R01molZnSmol106.022N23个，，，，5.4112109102.341021.61.64106.022E91021923则6106106103.160.815102.3410227.475.411102.3410227.472.8已知由N个惰性气体原子结合成的具有面心立方结构的晶体，其互作用能可表示为661212RσARσA2NεRU式中R为最近邻原子间的距离，126A,Aσ,ε,为常数，试求（1）平衡时原子间的最短距离；（2）平衡时晶体体积；（3）平衡时体积弹性模量；（4）抗张强度。解：（1）661212RσARσA2NεRU由得0Rσ6ARσ12A2NεRU70661301212R0可知661260σAA2RσAA2R616120（2）对于面心立方，N个原子构成晶体体积2RNR241N4aNV303030可得NV2R3由（1）中结果知2161236123300AANσA2Aσ21N2RNV所以22664412122VNσA4VNσA2NεVU264122636412512VbVbV1εσNAV1εσNA211251212εσNA21b6366εσNAb可知0V2bV4bVU36512V0可得321612216361251221612NσAAεσNAεσNAb2bV（3）体积弹性模量23122563R220V220AAσ4εRU9NβN1VUVK00（4）抗张强度公式为mmmRRVmVRRUVUp223R3N1VRRR3NVRNVβββ又面心立方结构22β可知mmR2mR2mmRU3NR2RUR3N1pβ661212RσARσA2NεRU又766131212Rσ6ARσ12A2NεRU8661412122Rσ7A6Rσ13A122NεRU20mR86614121222Rσ7A6Rσ13A122NεRUσAAbσAA726R6161261612m所以抗张强度7m6613m12122mmRσ6ARσ12A2Nε3NR2p6m612m123mRσARσ2AR2461262612123mAAb1AAAb12AR24122612226321612bAAAbA2σAAb241b2bAAσAAb241226321612325126123231225256σεAA0.364Ab2σAbεA242.9设有一离子晶体,只计及最近邻离子间的排斥作用时,其两个离子间的势能具有如下的形式:)(ruReeR2re2(最近邻间)(最近邻以外)其中,为参数;R是最近邻距离.试求平衡时晶体总的互作用势能的表达式.晶体共包含2N个离子.][)(222jRjjijereNruNU近邻´´解:以负离子为参考离子,同号取“-”,异号取“+”;令最近邻离子间距离为R,则,Rarjj设最近邻离子数目为Z]1[2jRjeZaReNU´][2ReZReN0][00202RRReZReNRU2020ReeZR202020200)(ReReNeZReNRUR021RReN2.10由两种一价离子交替排列组成的一维晶体，若离子总数为2N，试证明(1)平衡时的互作用势能为(2)如果晶体被压缩，使10RRc，则外力对每个离子所作的功n11R4πln22NeRU020202δR4ln2e1n21ωπεijru可表示为解：(1)计入排斥作用，晶体中任意两离子i、j之间的互作用nijijijrbreru2式中，同号离子取“+”号。异号离子取“－”号。若取负离子i作为参考离子，并忽略表面效应，则总的互作用能为能JjnijijijrbreNruNU2''221括号内对正离子取“+”号，对负离子取“－”号。以R表示最近邻离子间距，并令Rarijij，则上式可写为jjnjnjabRaReNU'11'2nRBReN2式中，为马德隆常数；jnjabB'。对于一维离子晶体，马德隆常数为2ln2413121121'jja所以nRBReNRU2ln22式中的