参数方程典型例题分析

参数方程典型例题分析例1在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（）．（A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0）分析由已知得可否定（A）又，分别将，，1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）．例2直线（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为，，点P分所成的比为，那么点P对应的参数是（）．（A）（B）（C）（D）分析将，分别代入参数方程，得A点的横坐标致为，B点的横坐标为，由定比分点坐标公式得P的横坐标为，可知点P所对应的参数是故应选（C）．例3化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线．（1）（为参数，）（2）（为参数）；（3）（为参数），解：（1）∵∴，∴或故普通方程为（或），方程的曲线如图．（2）将代入得∵普通方程为（），方程的曲线如图．（3）两式相除得代入得整理得∵∴普通方程为（），方程的曲线如图．点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，的范围，以保证普通方程与参数方程等价．例4已知参数方程①若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？②若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？解：①当时，由（1）得，由（2）得，∴，它表示中心在原点，长轴长为，短轴长为焦点在轴上的椭圆．当时，，，它表示在轴上的一段线段．②当（）时，由（1）得，由（2）得．平方相减得，即它表示中心在原点，实轴长为，虚轴长为，焦点在轴上的双曲线．当（）时，，它表示轴；当（）时，，∵（时）或（时）∴，∴方程为（），它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线．点评本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数．例5直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（）．（A）或（B）或（C）或（D）或分析将参数方程化为普通方程，直线为（），当时不合题意．因为，它们相切的充要条件是，解得，又，∴或，故选（A）．例6求椭圆上的点到直线的最大、最小距离．解将椭圆普通方程化为参数方程（），则椭圆任意一点的坐标可设为（，），于是点到直线的距离∴，此时；，此时点评利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式，这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题．例7已知点P是圆C：上一动点，点P关于点A（5，0）的对称点为Q，半径CP绕圆心C按逆时针方向旋转后得到点M，求的最大值和最小值．解如图，设点（，），则点M为（，），即M（，）．又点A（5，0）为Q的中点，则点Q为（，），且所以时，取得最大值时，取得最小值点评此题根据圆的参数方程是利用转角作参数，由点坐标求点M坐标，再把与坐标，相关的的最值转化成的最值来求解．例8直线与椭圆交于A，B两点，当变化时，求线段AB中点M的轨迹．解设AB中点M（，），直线的方程为（，为参数）代入椭圆方程有中可得设A，B对应的参数值分别为，，则有，又，∴，又，故，即．所以M点的轨迹是直线在椭圆内部的一条线段．例9已知线段，直线垂直平分交于点O，并且在上O点的同侧取两点P，，使，求直线BP与直线的交点M的轨迹．解如图，以O为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，依题意，可知B（0，2），（0，－2），又可设P（，0），（，0），其中为参数，可取任意非零的实数．直线BP的方程为直线的方程为两直线方程化简为解得直线BP与的交点坐标为：（为参数）．消去参数得（）∴所求点M的轨迹是长轴为6，短轴为4的椭圆除去B，点．点评用参数法求解轨迹问题时，首先要建立适当的坐标系，然后选择参数，表示出有关点的坐标，求出动点轨迹的参数方程，必要时还要化成普通方程，根据方程确定轨迹的形状，大小等特征．