2020年高考理科数学：《基本初等函数》题型归纳与训练

2020年高考理科数学：基本初等函数题型归纳与训练【题型归纳】题型一指数运算与对数运算例1已知函数2log,0,()31,0,xxxfxx则f(f(1))＋f31log2的值是()A.5B.3C.－1D.72【答案】A【解析】由题意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，31log0,2f31log2＝31log23+1＝2＋1＝3，所以f(f(1))＋flog312＝5.【易错点】确定31log2的范围再代入.【思维点拨】本题较简单，分段函数计算题代入时要先确定范围，再代入函数.例2定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝2log1,0,6,0,xxfxx（）（）则f(2019)＝()A．－1B．0C．1D．2【答案】D【解析】∵2019＝6×337－3，∴f(2019)＝f(－3)＝log2(1＋3)＝2.故选D.【易错点】转化过程【思维点拨】x6时可以将函数看作周期函数，得到f(2019)＝f(3)，然后再带入3，得出f(3)＝f(－3).题型二指对幂函数的图象与简单性质例1函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a1，b0B.a1，b0C.0a1，b0D.0a1，b0【答案】D【解析】由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b0.【易错点】注意b的符号【思维点拨】(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2例2已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.c＜b＜a【答案】B【解析】由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，∴log25＞|－log23|＞0，∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0)，故选B.【易错点】①对称性的条件转化；②利用单调性或图象转化到同一单调区间比较大小.【思维点拨】函数fxm的图象关于xm对称；指对幂函数比较大小时像本题中a,b一样可以换成同底数的数，可以化为一样的底数利用单调性比较大小.题型三二次函数的图象与性质例1已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是________．【答案】（－22，0）【解析】由于f(x)＝x2＋mx－1＝mx＋(x2－1)，可视f(x)为关于m的一次函数，故根据题意有2222()10,(1)(1)(1)10,fmmmfmmmm解得－22m0.【思维点拨】恒成立问题转化为最值问题.例2已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．【答案】a1时,f(x)min=a-2；a≥1时，f(x)min=－1a.【解析】①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.②当a0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为直线x＝1a.当1a≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在0，1a上单调递减，在1a，1上单调递增．∴f(x)min＝1()fa＝1a－2a＝－1a.当1a1，即0a1时，f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f(x)在[0，1]上单调递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.③当a0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝1a0，在y轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上单调递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述，f(x)min＝2,1,1,1.aaaa【易错点】忽略a＝0情形；对称轴不确定分类讨论【思维点拨】二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨设a0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下：(1)当2ba∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时，f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是2424bacbfaa；若2ba≤m＋n2，f(x)的最大值为f(n)；若2ba≥m＋n2，f(x)的最大值为f(m)．(2)当2ba∉[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时，f(x)在[m，n]上是单调函数．若2bam，f(x)在[m，n]上是增函数，f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)；若n2ba，f(x)在[m，n]上是减函数，f(x)的最小值是f(n)，最大值是f(m)．(3)当不能确定对称轴2ba是否属于区间[m，n]时，则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值．题型四函数图象的综合考查例1函数lnxxyx的图象可能是()【答案】B.【解析】法一函lnxxyx的图象过点(e，1)，排除C，D；函数lnxxyx的图象过点(－e，－1)，排除A，选B.4法二由已知，设lnxxyx，定义域为{x|x≠0}.则f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，排除A，C；当x＞0时，f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，排除D，故选B.【思维点拨】含对数函数的图象要考虑定义域，对于含对数函数的复合函数图象题，要注意判断复合后的奇偶性，进而分析图象对称性.例2函数2()xxeefxx的图像大致为（）【答案】B【解析】由f(x)的奇偶性，排除A；f(1)0,排除D；当x趋近于正无穷大时，f(x)趋近于正无穷大,故选B.【易错点】忽略正无穷大时的函数值【思维点拨】判断函数奇偶性→根据选项代入特殊值判断函数值正负→根据极限判断趋近值.题型五复合函数的简单性质例1设f(x)＝lg2()1ax是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是________.【答案】(－1，0).【解析】由f(x)是奇函数可得a＝－1，∴f(x)＝lg11xx，定义域为(－1，1).由f(x)0，可得011xx1，∴－1x0.【易错点】奇偶性判断【思维点拨】含对数函数的复合函数如果为奇函数，代入-x时真数部分与原真数部分互为倒数.可记住常见具有奇偶性的复合函数.常见奇函数：1()log1axfxx或1log1axx；2()log1afxxx或2log1axx常见偶函数：()fx（如logayx）、2()fx（如21log1ayx）例2若函数22log()yxaxa在区间(,13)上是增函数，求a的取值范围.【答案】[223,2]【解析】令2()ugxxaxa，∵函数2logyu为减函数，∴在区间(,13)上递减，且满足0u，∴132(13)0ag，解得2232a，所以，a的取值范围为[223,2].【易错点】对数型函数的定义域【思维点拨】利用复合函数同增异减的性质得出参数需满足的不等式组.题型六函数性质综合例1设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝()A．－1B．1C．2D．4【答案】C.【解析】设(x，y)是函数y＝f(x)图象上任意一点，它关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，由y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，可知(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，即－x＝2－y＋a，解得y＝－log2(－x)＋a，所以f(－2)＋f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1，解得a＝2，选C.【易错点】关于直线对称的函数求法例2设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝121－x，则：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝12x－3.其中所有正确命题的序号是________．【答案】①②④【解析】由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝121＋x，函数y＝f(x)的图象如图所示：2()ugxxaxa6当3x4时，－1x－40，f(x)＝f(x－4)＝12x－3，因此②④正确，③不正确．【思维点拨】研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想．【巩固训练】题型一指数运算与对数运算1.设函数211log,1,()2,1,xxxfxx（2）则f(－2)＋f(log212)＝()A.3B.6C.9D.12【答案】C【解析】因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×12＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.2.化简：2lg5＋lg2(lg2＋2lg5)＋(lg2)2＝________.【答案】2.【解析】原式＝2lg5＋(lg2)2＋2lg2·lg5＋(1－lg5)2＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＋1＝(lg2＋lg5)2＋1＝2.3.已知2x＝3，log483＝y，则x＋2y的值为____________．【答案】3.【解析】原式＝2228log3loglog833.题型二指对幂函数的图象与简单性质1.函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为()A.14B.12C．2D．4【答案】B【解析】f(x)＝ax＋loga(x＋1)是单调递增(减)函数(原因是y＝ax与y＝loga(x＋1)的单调性相同)，且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得，最值和为f(0)＋f(1)＝a0＋loga1＋a＋loga2＝a，∴loga2＋1＝0，∴a＝12.2.若a＝23x，b＝x2，c＝23logx，则当x1时，a，b，c的大小关系是()A.cabB.cbaC.abcD.acb【答案】A【解析】当x1时，223220,1,log0,33xabxcx所以cab.3.当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是()A.2(0,)2B.2(,1)2C．(1，2)D．(2，2)【答案】B【解析】由题意得，当0a1时，要使得4xlogax1(0)2x，即当0x≤12时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方．又当x＝12时，124＝2，即函数y＝4x的图象过点1(,2)2.把点1(,2)2代入函数y＝logax，得a＝22.若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需22a1(如图所示)．当a1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是2(,1)2.题型三二次函数的图象与性质1.若10,2x时220xax恒成立,求实数a的取值范围.【答案】9,.2【解析】分离参数a,可得2,axx则当10,2x时，令221,10,fxxfxxx