高中数学九个答题模板

【模板特征概述】数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化.第2讲模板1三角函数的周期性、单调性及最值问题【例1】已知函数f(x)＝2cosx·sinx＋π3－3sin2x＋sinxcosx＋1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值及最小值；(3)写出函数f(x)的单调递增区间．审题路线图不同角化同角→降幂扩角→化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h→结合性质求解．规范解答第2讲解f(x)＝2cosx12sinx＋32cosx－3sin2x＋sinx·cosx＋1＝2sinxcosx＋3(cos2x－sin2x)＋1＝sin2x＋3cos2x＋1＝2sin2x＋π3＋1.(1)函数f(x)的最小正周期为2π2＝π.(2)∵－1≤sin2x＋π3≤1，∴－1≤2sin2x＋π3＋1≤3.∴当2x＋π3＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝π12＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值3；当2x＋π3＝－π2＋2kπ，k∈Z，即x＝－5π12＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值－1.第2讲(3)由－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z得－5π12＋kπ≤x≤π12＋kπ，k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为－5π12＋kπ，π12＋kπ(k∈Z)．第2讲构建答题模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式．如：f(x)＝2sin2x＋π3＋1.第二步：根据f(x)的表达式求其周期、最值．第三步：由sinx、cosx的单调性，将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为解不等式问题．第四步：明确规范表述结论．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．第2讲模板2与平面向量综合的三角函数问题【例2】已知向量a＝(cos3x2，sin3x2)，b＝(－sinx2，－cosx2)，其中x∈π2，π.(1)若|a＋b|＝3，求x的值；(2)函数f(x)＝a·b＋|a＋b|2，若cf(x)恒成立，求实数c的取值范围．审题路线图(1)|a＋b|＝3→a2＋2a·b＋b2＝3→三角方程→求x.(2)化f(x)向量表示式为三角表达式→化简f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h→f(x)max→cf(x)max.规范解答解(1)∵a＋b＝(cos3x2－sinx2，sin3x2－cosx2)，∴|a＋b|＝cos3x2－sinx22＋sin3x2－cosx22＝2－2sin2x，第2讲由|a＋b|＝3，得2－2sin2x＝3，即sin2x＝－12.∵x∈π2，π，∴π≤2x≤2π.因此2x＝π＋π6或2x＝2π－π6，即x＝7π12或x＝11π12.(2)∵a·b＝－cos3x2sinx2－sin3x2cosx2＝－sin2x，∴f(x)＝a·b＋|a＋b|2＝2－3sin2x，∵π≤2x≤2π，∴－1≤sin2x≤0,0≤－3sin2x≤3.∴2≤f(x)＝2－3sin2x≤5.∴f(x)max＝5，由cf(x)恒成立，得c5.第2讲构建答题模板第一步：根据向量运算将向量式转化为三角式；第二步：化简三角函数式，一般化为y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式；第三步：解三角方程或求三角函数的单调区间、最值；第四步：明确规范地写出答案；第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．如本题的易错点为易忽略x∈π2，π这一条件．第2讲模板3由数列的前n项和Sn与通项an的关系求通项an【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}中，bn0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.第2讲第2讲规范解答解(1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，∴an＝2Sn－1＋1(n∈N*，n≥2)，∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an(n∈N*，n≥2)．而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1.∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n－1(n∈N*)．∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2.∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，∵bn0(n∈N*)，∴舍去d＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1(n∈N*)．第2讲(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n，∴Tn＝n·3n.第2讲构建答题模板第一步：令n＝1，由Sn＝f(an)求出a1.第二步：令n≥2，构造an＝Sn－Sn－1，用an代换Sn－Sn－1(或用Sn－Sn－1代换an，这要结合题目特点)，由递推关系求通项．第三步：验证当n＝1时的结论是否适合当n≥2时的结论．如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示．第四步：写出明确规范的答案．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．本题的易错点，易忽略对n＝1和n≥2分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合并．第2讲模板4数列求和问题【例4】(2012·江西)已知数列{an}的前n项和Sn＝－12n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列9－2an2n的前n项和Tn.审题路线图Sn＝－12n2＋kn为关于n的二次函数↓当n＝k时，Sn取最大值↓Sk＝－12k2＋k2＝12k2＝8↓解关于k的方程得：k＝4↓定Sn＝－12n2＋4n第2讲↓an＝Sn－Sn－1＝92－n(n≥2)↓bn＝9－2an2n＝n2n－1↓Tn＝1＋22＋322＋423＋…＋n2n－1↓用错位相减求和规范解答解(1)当n＝k∈N＋时，Sn＝－12n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－12k2＋k2＝12k2，故k2＝16，因此k＝4，从而an＝Sn－Sn－1＝92－n(n≥2)．又a1＝S1＝72，所以an＝92－n.第2讲(2)因为bn＝9－2an2n＝n2n－1，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋22＋322＋…＋n－12n－2＋n2n－1，所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋12＋…＋12n－2－n2n－1＝4－12n－2－n2n－1＝4－n＋22n－1.第2讲构建答题模板第一步：利用条件求数列{bn}的通项公式．第二步：写出Tn＝b1＋b2＋…＋bn的表达式．第三步：分析表达式的结构特征、确定求和方法．(例如：公式法、裂项法，本题用错位相减法)．第四步：明确规范表述结论．第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．如本题中在求an时，易忽视对n＝1，n≥2时的讨论．第2讲模板5立体几何中的基本关系与基本量问题【例5】在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝DA＝DC＝BE＝2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求多面体ABCDE的体积．审题路线图在平面ABC内作辅助线OF→证明DE∥OF→将多面体ABCDE分割→分别求两个三棱锥体积之和．第2讲规范解答(1)证明由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC.∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，第2讲那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，∴∠EBF＝60°，易求得EF＝DO＝3，∴四边形DEFO是平行四边形，DE∥OF.∵DE平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC.(2)解∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC，∴OB⊥平面ACD.又∵DE∥OB，∴DE⊥平面DAC.∴三棱锥E—DAC的体积V1＝13S△DAC·DE＝13·3·(3－1)＝3－33.第2讲又三棱锥E—ABC的体积V2＝13S△ABC·EF＝13·3·3＝1，∴多面体ABCDE的体积为V＝V1＋V2＝6－33.第2讲构建答题模板第一步：画出必要的辅助线，根据条件合理转化．第二步：写出推证平行或垂直所需条件，注意条件要充分．第三步：明确写出所证结论．第四步：对几何体进行合理转化(分割或拼补)．第五步：分别计算几何体的体积并求和．第六步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范．第2讲模板6解析几何中的探索性问题【例6】已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．(1)若线段AB中点的横坐标是－12，求直线AB的方程；(2)在x轴上是否存在点M，使MA→·MB→为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图设AB的方程y＝k(x＋1)→待定系数法求k→写出方程；设M存在即为(m,0)→求MA→·MB→→在MA→·MB→为常数的条件下求m.第2讲规范解答解(1)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝36k4－43k2＋13k2－50，①x1＋x2＝－6k23k2＋1.②由线段AB中点的横坐标是－12，得x1＋x22＝－3k23k2＋1＝－12，解得k＝±33，适合①.第2讲所以直线AB的方程为x－3y＋1＝0或x＋3y＋1＝0.(2)假设在x轴上存在点M(m,0)，使MA→·MB→为常数．(ⅰ)当直线AB与x轴不垂直时，由(1)知x1＋x2＝－6k23k2＋1，x1x2＝3k2－53k2＋1.③所以MA→·MB→＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.将③代入，整理得MA→·MB→＝6m－1k2－53k2＋1＋m2＝2m－133k2＋1－2m－1433k2＋1＋m2＝m2＋2m－13－6m＋1433k2＋1.第2讲注意到MA→·MB→是与k无关的常数，从而有6m＋14＝0，m＝－73，此时MA→·MB→＝49.(ⅱ)当直线AB与x轴垂直时，此时点A、B的坐标分别为－1，23、－1，－23，当m＝－73时，也有MA→·MB→＝49.综上，在x轴上存在定点M－73，0，使MA→·MB→为常数．第2讲构