自动控制原理非线性系统分析

第8章非线性系统分析8．1非线性系统概述8.1.1典型非线性特性1.饱和特性不再随输入的的绝对值增大到某一值后，输出xy当输入变化而变化，即输出达到饱和，这种现象称为饱和。如晶体管放大器、电机的转速与控制电压的关系都具有饱和特性的，如图。xy实际饱和特性0xyaaK理想饱和特性0yKxx≤aaxKaaxKa饱和特性对系统性能的影响：（1）由于饱和区等效增益的减小，提高了暂态响应的平稳性，即有抑制系统振荡的作用。（2）由于饱和区等效增益的减小，使稳态控制精度下降。2.死区特性（不灵敏区）死区特性xyaaK0当输入信号的绝对值小于死区范围时，输出为零；当输入信号的绝对值大于死区范围时，输出信号才随输入信号线性变化。其数学表达式为≥y0axxaxK)(aaxaxK)(≤控制系统中的测量元件、执行部件以及放大器都存在着不灵敏区。死区特性元件等效于一个变增益元件，在死区范围内，等效增益为零，大于死区后，等效增益随输入信号的增大在增大，但等效增益总是小于原来的K值。第8章非线性系统分析死区特性对系统性能的影响：（1）由于等效增益的减小，增大了系统的稳态误差，降低了稳态控制精度。（2）由于等效增益的减小，提高了系统暂态响应的平稳性，使振荡性能减弱。（3）因为死区可以滤掉小幅值的干扰信号，所以使系统的抗扰能力提高。3.间隙特性（回环特性）间隙特性形成的原因常常是由于滞后的作用造成的。如磁性材料的滞后现象，所以回环特性又叫磁滞特性。在机械传动装置中，由于传动间隙或干摩擦也造成回环特性。如图。第8章非线性系统分析间隙特性xyaaK0间隙特性对系统性能的影响：（1）间隙会引起系统的不稳定或自振荡。由于输出总是滞后于输入的，从频率特性上看相当于系统中引入了一个相位滞后环节，使系统相位裕量减小，暂态响应振荡性能加剧。（2）由于滞后原因间隙会降低系统稳态精度。maxyamaE0ExE0EyxaaE0EyxaaE0Eya继电器理想继电器死区继电器带滞环的继电器4.继电器特性第8章非线性系统分析继电器特性对系统总是不利的。第8章非线性系统分析8.1.2非线性系统的特点1．稳定性线性系统的稳定性只与系统本身的结构和参数有关，而与初始条件及输入量无关。非线性系统的稳定性除了与系统本身的结构和参数有关外，还与初始条件及输入量有关。0)1(xxx例8-1有非线性系统，其微分方程为10x10x10x试分析在不同的初始状态下（如、和）系统的稳定性。10xx0)1(0x解：（1）当时，项的系数，微分方程的特征根为负，系统稳定，其动态过程按指数规律衰减。如图。不同初始状态下的动态过程t)(tx10第8章非线性系统分析10x10x10x项的系数10xx0)1(0x0xx（2）当时，，微分方程变为保持恒值。如图。10xx0)1(0x（3）当时，项的系数，为正，系统不稳定，其动态过程微分方程的特征根按指数规律发散。如图。2．自持振荡（自振）对于非线性系统，除了稳定和不稳定这两种运动状态以外，还有一种稳定的持续振荡状态，即自持振荡或自激振荡（简称自振）。第8章非线性系统分析自振就是在没有外加信号时，系统产生的不衰减的周期振荡。在很多情况下不希望系统产生自振，因为强烈的振荡会使设备损坏。但有时也可以利用自振改善系统性能，如用高频小振幅的颤振克服摩擦或间隙对系统的影响。所以自振的分析研究是非线性系统研究的一个重要问题。3．叠加原理不适用非线性系统的暂态特性是与初始条件有关的，当初始偏差小时单调变化，初始偏差大时很可能就出现振荡。所以，叠加原理不适用。鉴于非线性系统的特点，其研究的重点和方法与线性系统有所不同，一般主要研究非线性系统的稳定性和自振荡问题，决定它的稳定范围，自振的振幅和频率等。第8章非线性系统分析8．2描述函数法描述函数法是在频率域中分析非线性系统的一种工程近似方法，是频率法在一定假设条件下在非线性系统中的推广应用。8.2.1描述函数的基本概念1．谐波线性化谐波线性化就是在输入正弦函数的情况下，将非线性元件输出的非正弦周期信号用其中的基波分量来代替，而略去信号中的高次谐波。设一个非线性元件，其输出输入关系表示为)(xfy，时输入为tXxsin)sin()(tXfty，输出为，它是一个非正弦的周期函数。展成富氏级数：第8章非线性系统分析1010)sin()sincos()(nnnnnntnYAtnBtnAAty200)(21tdtyA20cos)(1ttdntyAn20sin)(1ttdntyBn22nnnBAYnnnBAarctan其中：设非线性特性均为对称奇函数，00A，忽略高次谐波，则)sin(sincos)(1111tYtBtAty21211BAY111arctanBA201cos)(1ttdtyA201sin)(1ttdtyB第8章非线性系统分析2．描述函数定义非线性元件在正弦输入时，输出的基波分量与输入正弦量的复数比，称为该非线性元件的描述函数。1121211111arctanBAXBAXAjXBXYN表示，即N描述函数用符号NX)(XNN如果非线性元件不包含储能机构，即描述，描述函数只是输入正弦信号幅值的函数，即而与频率无关。的特性可以用代数方程描述函数可看作是一个“复放大系数”或“复增益”。8.2.2典型非线性特性的描述函数非线性特性的描述函数计算步骤：（1）设输入为tXtxsin)(，根据非线性输入输出特性，画出其输出)(ty波形并写出其表达式。第8章非线性系统分析)(ty00A（2）计算输出的基波分量（设非线性特性具有斜对称）。特性，即201cos)(1ttdtyA201sin)(1ttdtyB（3）根据描述函数的定义式求出该非线性特性的描述函数。1．饱和特性的描述函数输入、输出特性如图。（1）在正弦输入信号tXtxsin)(作用下，其输出波形如图。写出输出表达式为≤≤)(tytKXsinKa1t0≤≤21t第8章非线性系统分析111饱和特性及输入、输出波形（b）121yyxxaaKt000（a）（c）tKa第8章非线性系统分析00A01A01（2）由于饱和特性为单值斜对称，所以，1102220201sinsin4sin)(4sin)(1ttdKattdKXttdtyttdtyB1taX1sinXaarcsin1由图知，当时，，所以，。21)(1arcsin2XaXaXaKXB)(aX（3）其描述函数为21)(1arcsin2)(XaXaXaKXBXN)(aX第8章非线性系统分析2．死区特性的描述函数死区特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形如图。t1111yyxxaaK000t死区特性及输入、输出波形221第8章非线性系统分析)(ty0)sin(atXK1≤t≤0≤≤21t其输出表达式为00A01A01死区特性为单值斜对称，故11111220201cossincossin212144sin)sin(4sin)(4sin)(11KXttdatXKttdtyttdtyBXaarcsin1第8章非线性系统分析2221)(1arcsin22)(1)(121arcsin2144XaXaXaKXXaXaXaXaXaKXB死区特性描述函数为21)(1arcsin22)(XaXaXaKXBXN)(aX3．间隙特性的描述函数间隙特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形如图。其输出表达式为第8章非线性系统分析1221yyx00aaKt间隙特性及输入、输出波形x0t2第8章非线性系统分析≤)(ty)(aXK≤1t2≤)sin(atXK1t≤)sin(atXK20taXX2)sin(1)21arcsin(1Xa由图可得，所以，1A1B由于间隙特性为非单值斜对称，所以、均不为零。aXXaKattdatXKttdaXKttdatXKttdtyttdtyA14])cossin()cos()cossin([2)cos(2)cos(1202020111第8章非线性系统分析aXXaXaXaXaKXttdatXKttdaXKttdatXKttdtyttdtyB)1()21(2)21arcsin(2]sin)sin(sin)(sin)sin([2sin)(2sin)(1202020111间隙特性的描述函数为)1(4)1()21(2)21arcsin(2)(11XaXkajXaXaXaXaKXAjXBXNaXX这是一个与输入正弦函数的振幅有关的复函数，说明输出的基波分量对输入是有相位差的，输出滞后于输入。第8章非线性系统分析4．继电器特性的描述函数继电器特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形如图。xt211yyx000Et继电器特性及输入、输出波形223434maa第8章非线性系统分析其输出表达式为)(tyE≤E1t2≤4t3≤≤10t；3t2；≤≤2t40由图可得：aX1sinXaarcsin1maX)sin(2Xmaarcsin2aX)sin(3Xaarcsin3maX)2sin(4Xmaarcsin2401A01B因继电器特性为非单值斜对称，所以，，第8章非线性系统分析aXmXEattdEttdEttdtyA)1(2cos)(cos1cos)(14321201aXXaXmaEttdEttdEttdtyB22201)(1)(12sin)(sin1sin)(14321继电器特性的描述函数为)()1(2)(1)(12)(22211aXmXEajXaXmaXEXAjXBXN当m和a取不同值时，可得到其它几种继电特性的描述函数。当0m时，为理想继电器特性，其描述函数为第8章非线性系统分析)(4)(aXXEXN当1m时，为带死区的继电器特性，其描述函数为)()(14)(2aXXaXEXN当1m时，为带滞环的继电器特性，其描述函数为)(4)(14)(22aXXEajXaXEXN当系统中有两个或多个非线性元件并联的结构时，可以等效为一个非线性环节，其等效描述函数为各并联非线性特性描述函数之和。或者一个复杂的非线性特性可以分解为几个简单非线性特性的叠加。第8章非线性系统分析8.2.3描述函数法分析非线性系统描述函数法主要用来研究非线性系统的稳定性问题、是否产生自振、产生自振时的振幅和频率的确定，以及如何抑制自振等。1．系统的典型结构及描述函数法应用的基本条件非线性系统的典型结构图：NWcx0rx考虑只分析系统的稳定性及自振问题，令外部作用量为零。WN可通过对非线性系统的变换和归化和非线性部分的串联而形成的回路。得到，表示为线性部分基于谐波线性化，系统处于自振时，非线性部分和线性部分的输入输出均为同频率的正