数字控制器的设计方法

1第三章常规数字控制器的设计数字控制器的设计方法分类模拟控制器的离散化数字PID控制最少拍数字控制系统的设计最少拍无纹波控制系统设计最少拍控制系统的改进达林算法23．1数字控制器的设计方法分类按其设计特点分为二大类：1.模拟化设计方法一般可按以下步骤进行：第一步：用连续系统理论确定；第二步：用合适的离散化方法由求出；第三步：检查系统性能是否满足设计要求；第四步：将变为差分方程或状态空间方程，并编写计算机程序。需要时可运用混合仿真的方法检查系统的设计与程序编制是否正确。32.离散化设计方法首先用适当的离散化方法将连续部分（如图所示的保持器和被控对象）离散化，使整个系统完全变成离散系统，然后用离散控制系统的设计方法来设计数字控制器，最后用计算机实现控制功能。43．两种方法的比较模拟化设计方法可引用成熟的经典设计理论和方法。但在“离散”处理时，系统的动态特性会因采样周期的增加而改变，甚至导致闭环系统的不稳定。离散化设计方法运用的数学工具是Z变换与离散状态空间分析法。这种方法是一种直接数字设计方法，不仅更具有一般性，而且稳定性好、精度高。相对而言有时称为精确法。需要注意的是，该法的精确性仅限于线性范围内以及采样点上才成立。53．2模拟控制器的离散化表征模拟校正装置的重要参数是：①极点与零点的数目；②频带宽度与截止频率；③DC增益；④相位裕度；⑤增益裕度、超调量、闭环频率响应峰值等。在选择模拟控制器的离散化方法时，首先必须明白对离散化控制算法有何要求，以保证模拟校正装置的主要特性能得到保持。6模拟控制器的离散化的主要方法1.Z变化法2.带有零阶保持器的Z变换法3.差分变换法4.双线性变换法71.Z变化法Z变换法就是在D(z)与D(s)之间建立的一种映射关系（），这种映射关系保证模拟控制器的脉冲响应的采样值与数字控制器的输出相同。Tsez)()()(sDsEsUnnasAasAasAsD2211)(11211111)(21zeAzeAzeAzDTanTaTan将D(s)写成部分分式的形式：则离散化校正装置为：8在设计中所需要的高频部分出现频率混迭问题。为了解决这一问题,可以在上串联一个低通滤波器，从而使转化为新的控制器。增加采样角频率，使远高于控制器的截止频率。ssZ变换的特点：1．与的脉冲响应相同；2．如果是稳定的，则也稳定；3．不能保持的频率响应，频谱以进行延伸；4．将的整数倍的信号，变换为Z平面上同一频率点，所以出现了混迭现象(为采样角频率)；5．如果是一个复杂的传递函数，则其Z变换很可能无法在一般Z变换表中查到，这时需要进行部分分式展开)(zD)(sDss)(sD)(sH)(sD)()()(1sDsHsD)(zD)(sD)(sD)(zD)(zD)(sDs92.带有零阶保持器的Z变换法在原线性系统的基础上串联一个虚拟的零阶保持器，再进行Z变换从而得到D(s)的离散化模型D(z))](1[)(sDseZzDsT加保持器的Z变换法的特点是：(1)如果D(s)是稳定的，D(z)则也稳定；(2)如果D(s)是一个复杂的传递函数，其Z变换很可能无法在一般Z变换表中查到，这里需要进行部分分式展开；(3)由于串联了零阶保持器，D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。103.差分变换法（又称数值积分法）差分变换法将微分方程离散化为差分方程，最后求z传递函数。即变量的导数用有限差分来近似地等效，从而得到一个逼近给定微分方程的差分方程，其中最简单的差分变换是用后向差分或前向差分代替一阶导数。后向差分Teedtdeii1Tuudtduii1由可得或Tzs11sTz11于是得出后向差分变换式：TzssDzD11|)()(Tzsln11例如：asasD)(111)(1zaTaTasazDTzs或)(111iiiaTeuaTu后向差分将使频率响应产生畸变。这一点可从平面的轴在Z平面上的映射可以看出。当时，Tzs11js)1(21)111(211112TjtgeTjTjTjz12取的实部与虚部：2)2cos(21)Re(1Ttgz2)2sin()Im(1Ttgz于是S平面上的直线(Ω从到)映射到Z平面是一个用下式描述的圆：js22211[Re()][Im()]()22zz上式是一个圆心在处，半径为的圆，如图3．2(a)所示，从图中可以看出平面轴在Z平面上的映像，除值极小情况外，均在单位圆内。21)Re(z21T13由此可得后向差分的性质是：(1)使用方便，而且不要求传递函数的因式分解；(2)一个稳定的变换为一个稳定的；(3)不能保持的脉冲与频率响应。)(sD)(zD)(sD)(zD14Teedtdeii1Tzs1sTz1或前向差分:当时，表明其映射为截于单位圆上的一点且平行于纵轴的一条直线，如图3.2(b)所示。由此可知，S平面jΩ的轴在Z平面上的映像除ΩT的极小值外，均在单位圆外，因此这种方法将不利于控制器的稳定性。jsTjz115根据z变换定义:2/2/TsTsTseeez2/1...!3)2/(!2)2/(2/1322/TsTsTsTseTs2/12/TseTs2/12/1TsTsz展成级数：同理：得双线性变换公式：4.双线性变换法16双线性变换公式可以进行实s传递函数与z传递函数相互转换，转换公式如下：)1()1(211|)()(zTzssDzDeiiui-ui-117各种离散化方法的比较A.本茨和M.普里斯勒通过对图3.5所示的位置随动系统的模拟化设计进行研究，得出如下研究结论：(1)最好的离散化方法是双线性变换法，该方法对低采样频率的结构也很好；(2)如果增益是惟一的性能标准的话，则匹配Z变换法的效果比双线性的效果更好一些；(3)采用频率曲折法可以保持系统临界频率的位置，但不能保持系统的增益和相位。(4)如果模拟控制器中一个极点或零点的位置远离我们所感兴趣的频率以外，则该极点或零点可以不考虑。183.3数字PID控制3.3.1理想微分PID控制设系统的误差为e(t)，则模拟PID控制规律为])()(1)([)(0dttdeTdtteTteKtutdip它所对应的连续时间系统传递函数为]11[)()(sTsTKsEsUdip19（1）比例调节器控制规律：0uekup根据误差进行调节，使系统沿着减小误差的方向运动。误差大则控制作用也大。比例调节器一般不能消除稳态误差。增大KP可以加快系统的响应速度及减少稳态误差。但过大的KP有可能加大系统超调，产生振荡，以至于系统不稳定。20tipuedtTeku00)1(（2）比例积分调节器控制规律：积分调节的引入，可以消除或减少控制系统的稳态误差。但是积分的引人，有可能使系统的响应变慢，并有可能使系统不稳定。增加Ti即减少积分作用，有利于增加系统的稳定性，减少超调，但系统静态误差的消除也随之变慢。21tdipudtdeTedtTeku00)1(（3）PID调节器控制规律：微分环节的加入，可以在误差出现或变化瞬间，按偏差变化的趋向进行控制。它引进一个早期的修正作用，有助于增加系统的稳定性。微分时间常数Td的增加即微分作用的增加，将有助于加速系统的动态响应，使系统超调减少，系统趋于稳定。但微分作用有可能放大系统的噪声，减低系统的抗干扰能力。理想的微分器是不能物理实现的，必须要采用适当的方式近似。22PID控制器连续时间系统传递函数]11[)()(sTsTKsEsUdip微分积分比例23PID模拟控制器的离散化用矩形法来计算数值积分：kitTiede00)()(Tkekedttde)1()()(用后向差分来代替微分：24则离散化的PID控制规律为：kidipuTkekeTTieTkekku00])1()()(1)([)(上式表示的控制算法提供了执行机构的位置所以称为PID位置控制算法。这种算式中有一累加项，随着时间k的增加，累加的项次也依次增加，不利于计算机计算。另外，如果由于某种干扰因素导致u(k)为某一极限值时，被控对象的输出也将作大幅度的剧烈变化，由此可能导致严重的事故。就其原因，位置式算式存在以上缺陷的主要原因是它所给出的只是当前控制量的大小，与此前时刻控制量的大小却完全不相关。为此，有必要改进上述算法。Tekii025在很多控制系统中，由于执行机构是采用步进电机或多圈电位器进行控制的，所以，只要给出一个增量信号即可。写出K-1的输出值：100])2()1()(1)1([)1(kidipuTkekeTTieTkekku上两式相减得PID增量式控制算法26)2()1()21()()1()]}2()1(2)([)()1()({)1()()(keTTkkeTTkkeTTTTkkekekeTTkeTTkekekkukukudpdpdipdip1A2A3A27增量式PID算法与位置式PID算法的比较：两者本质相同，只是前者需要使用有附加积分作用的执行机构。但有如下优点：1、计算机只输出增量，误动作时影响小，必要时可增设逻辑保护；2、手动/自动切换时冲击小；3、算式不需要累加，只需记住四个历史数据，即e(k-2),e(k-1),e(k)和u(k-1),占用内存少，计算方便，不易引起误差累积。28数字PID控制算法程序框图29PID控制规律的脉冲传递函数形式123()[(()(1)(2))]pukKAekAekAek两边求z变换，并注意到，得)1()()(kukuku))]()()([()()(231211zEzAzEzAzEAKzUzzUp)(1)()(123121zEzzAzAAKzUp30理想微分PID控制的实际效果并不理想，从阶跃响应看，它的微分作用只能维持一个采样周期。由于工业用执行机构(如气动调节阀或电动调节机构)的动作速度限制，致使偏差大时，微分作用不能充分发挥，再加之理想微分还容易引进高频干扰。为此，实际应用中，几乎所有的数字控制回路，通常都加一低通滤波器来限制高频干扰的影响。问题：311、实际微分PID控制算式一通过一级低通滤波器来限制高频干扰的影响3．3．2实际微分PID控制11)(sTsGfc低通滤波器和理想微分PID算式相结合后的传递函数为：)11(1)()()(sTsTsTKsEsUsDdifp32)2()1()()1()(3210keakeakeakuaku若令（Kd为微分系数）ddfKTT则差分方程：)()1()(kukuku332、实际微分PID控制算式之二实际微分PID算式的传递函数：12122112112fdpidTTTTTTKKKTTTTTTT，，，2111222121(1)(1)(1)(1)()()(1)(1)pddKTsTsKTsTsDsTTTTssTssKK)11(11)()()(1122sTKsKTsTsEsUsDd34利用差分变换法得出微分作用输出差分方程为：)1()()()1()(2222keTkeTTkuKTkuTKTdddd)1()()()1()(222222keTTKTKkeTTKTTKkuTTKTkuddddddd图中的前置方块主要起微分作用，所以它也称为微分先行PID控制。35积分作用输出差分方程为：比例作用输出差分方程为：)()1()(11kuTTKkukudii)()(1kuKkudp位置型算式为：)1()()()1()1()1()1()()()()()(222222