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巢湖学院2012届本科毕业论文(设计)I拉普拉斯变换法在常微分方程(组)中的应用作者:倪敏学号:08025085(巢湖学院数学系安徽巢湖238000)摘要本文给出了常微分方程(组)的基本概念性质及两种解法,常数变易法及拉普拉斯变换法,常微分方程属于数学分析的一支,是数学中与应用密切相关的基础学科,其自身也在不断发展中,学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要。通过对微分方程的研究,分析对比常数变易法和拉普拉斯变换法这两种求解方法,我们可以很明了的得出相对于繁琐的常数变易法,拉普拉斯法是非常简便的,它可以使求解简化很多.即对一个函数作拉普拉斯变换,然后在复数域作各种运算得到结果,再通过拉普拉斯反变换,可以很简单的求得实数域中相应的所需结果.在实际生活中,拉普拉斯变换法也与很多应用有着密切联系.关键词:常微分方程;常微分方程组;常数变易法;拉普拉斯变换法拉普拉斯变换在常微分方程中的应用IILaplacetransformmethodinordinarydifferentialequation(group)Name:NiMinStuNo:08025085(DepartmentofMathematicsChaohuCollegeChaohuAnhui238000)AbstractThispapergivesthedifferentialequation(Group)thebasicconceptpropertiesandtwokindsofsolution,thevariationofconstantsmethodandLaplassetransform,differentialequationofmathematicalanalysisforabranchofmathematicsandapplications,iscloselyrelatedtothebasicsubject,itsoneselfalsoisinceaselessdevelopment,learnthebasictheoryandmethodofordinarydifferentialequationsonfurtherstudyofmathematicaltheoryandpracticalapplicationsareveryimportant.Basedonthestudyofdifferentialequations,analysisandcomparisonofthevariationofconstantsmethodandLaplacetransformmethodthetwosolutionmethods,wecanbeveryclearthatrelativetothecomplexvariationofconstantsmethod,theLaplacemethodisverysimple,sothatitcansolvealotof.ThatisafunctionoftheLaplacetransform,andtheninthecomplexdomainforavarietyofoperationalresults,byLaplaceinversetransform,canbeverysimpletoachieverealfieldcorrespondingtothedesiredresults.Inreallife,Laplacetransformmethodandalsoalotofapplicationsarecloselylinked.Keywords:ordinarydifferentialequations;Ordinarydifferentialequations;Laplacetransformmethod巢湖学院2012届本科毕业论文(设计)III目录拉普拉斯变换法在常微分方程(组)中的应用...........................I引言.............................................................11.1常微分方程基本概念.............................................11.2线性微分方程的相关定义及性质..................................31.2.1引言.....................................................31.2.3非齐次线性微分方程的定义及性质..........................41.3线性微分方程的一般理论.........................................51.3.1齐次线性微分方程组......................................51.3.2非齐次线性微分方程组的性质定理..........................62.1拉普拉斯变换的介绍.............................................62.2拉普拉斯变换的定义性质及部分变换................................73微分方程的求解..................................................83.1用常数变易法求解常系数齐次线性微分方程.........................83.2用矩阵法求解常系数线性微分方程组.............................94拉普拉斯变换法在求解常微分方程(组)中的应用...................114.1拉普拉斯变换在常微分方程中的应用.............................114.1.1求解过程说明............................................114.1.2对比两种方法在常微分方程中的求解........................124.2拉普拉斯变换法在常微分方程组中的应用..........................134.2.1求解过程说明.............................................134.2.2对比两种方法在常微分方程组中的求解.....................135探索...........................................................15结束语............................................................19参考文献..........................................................20巢湖学院2012届本科毕业论文(设计)1引言常微分方程在许多领域有重要的应用,各种电子学习设备的设计,弹道计算,飞机和导弹的飞行稳定性,化学反应过程的稳定性等等.应用拉普拉斯变换法求解齐次微分方程,可以将微分方程化为代数方程,使问题得以解决.常微分方程理论中的应用已取得的伟大成就,但是现有的理论仍然远远不能满足需求,需要进一步发展,使这门学科拥有较完整的理论.1常微分方程1.1常微分方程基本概念1.1.1常微分方程和偏微分方程微分方程就是含有微分未知数的方程,如果在微分方程中,自变量的个数只有一个,这种微分方程就叫做常微分方程;自变量的个数为两个或者多个的微分方程就叫做偏微分方程.方程2dydybcyftdtdt(1)20dydytydtdt(2)就是常微分方程的例子,这里y是未知函数,t是自变量.方程2222220TTTxyz(3)224TTxx(4)拉普拉斯变换在常微分方程中的应用2就是偏微分方程的例子,这里T是未知函数,x,y,z,t都是自变量.方程(3)含有三个自变量,而方程(4)含有两个自变量.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数.,,,,nndydyFxydxdx…(5)就是一般微分方程的具体形式.这里,,,,nndydyFxydxdx…是,,,,nndydyxydxdx…的已知函数,而且一定含有nndydx;y是未知函数,x是自变量.我们学习的这门课程是常微分方程.今后,我们把常微分方程简称为“微分方程”,有时更简称为“方程”.1.1.2线性和非线性如果方程(5)的左端为y及,,nndydydxdx…的一次有理整式,则称1.5为n阶线性微分方程.例如,方程1.1是二阶线性微分方程.一般阶线性微分方程具有形式1111nnnnnndydydyaxaxayfxdxdxdx…(6)这里1,,,naxaxfx…是x的已知函数.不是线性微分方程的方程称为非线性微分方程.例如,方程22sin0dgdtl是二阶非线性微分方程,而方程(2)是一阶非线性微分方程.(5)微分方程组用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组.习惯将一阶常微分方程写成最高阶导数的形式1',,,,nnzgtzzz…(7)其中11'1,,,nnnnnndzdzdzzzzdtdtdt….如果把1',,,,nnzzzz…都理解为未知函数,取变换1'12,,,nnyzyzyz…则n阶方程(7)可以用一阶方程组1211;,,nnnndyydtdyydtdygtyydt……巢湖学院2012届本科毕业论文(设计)3代替,即可以将高阶微分方程或高阶微分方程组变换为一般的一阶微分方程组1;,...,,1,2,...,iindyftyyindt或更简单的写成向量形式;dyftydt其中1112211;,...,;,...,,;......;,...,nnnnnftyyyyftyyyftyyftyy前面提到的线性和非线性,等概念同样适合微分方程组.1.2线性微分方程的相关定义及性质1.2.1引言我们讨论如下的n阶线性微分方程1111...nnnnnndxdxdxatatatxftdtdtdt,(8)其中1,2,...,iatin及ft都是区间atb上的连续函数.如果0ft,则方程(8)变为1111...0nnnnnndxdxdxatatatxdtdtdt(9)我们把它叫做n阶齐次线性微分方程,简称齐次线性微分方程,而称形如方程(8)的方程为n阶非齐次线性微分方程,简称非齐次线性微分方程,并且通常把方程(9)叫做对应于方程(8)的齐次线性微分方程.定理1[1]如果1,2,...,iatin及ft都是区间atb上的连续函数,则对于任一0,tab及任意的11000,,...,nxxx,方程(8)存在唯一解xt,定义于区间atb上,且满足初值条件1110000001,,...,nnndtdttxxxdtdt(10)拉普拉斯变换在常微分方程中的应用41.2.2齐次线性微分方程的解的性质我们先来讨论齐次线性微分方程1111...0nnnnnndxdxdxatatatxdtdtdt,(11)定理2[1](叠加原理)如果12,,...,kxtxtxt是方程(11)的k个解,则它们的线性组合1122...kkcxtcxtcxt也是的解,这里12,,...,kccc是任意常数.特别地,当
本文标题:拉普拉斯变换法在常微分方程中的应用
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