中国数学史.

中国数学史主讲人：占晓军萌芽体系形成发展繁荣中西方数学结合（2）西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。（3）商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成60个名称来记60天的日期；周代又把以前用阴阳符号构成的八卦发展为六十四卦，表示64种事物。（4）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”——《庄子天下》呵呵，这是我老人家的名言哦墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很有意义的《墨攻》数学体系形成秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。《九章算术》是中国汉族学者在古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。要注意的是《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。《九章算术》《九章算术》中典型的盈亏类问题：今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价各几何？答曰：七人，物价53钱。盈不足术也可以用来解决不属于盈亏类的问题。二、代数方面1、方程术：即线性联立方程组的解法。题目：今有上禾（上等黍米）三秉，中禾二秉，下禾一秉，实(l粮食）三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下实一秉各几何？解：设上中下禾各一秉打出的粮食分别为x，y，z斗则解方程组263234323923zyxzyxzyx432414419，下禾，中禾可得：上禾不过在《九章算术》中没有表示未知数的符号，而是用算筹将x，y，z的系数和常数项排列成一个方阵，消元的过程想当于现在矩阵中的初等变换。cba实下禾秉数中禾秉数上禾秉数2、正负术在《九章算术》的“方程术”中，当用遍乘直除算法消元（即用加减消元法解一次方程组）时，可能出现减数大于被减数的情形，于是在“方程”章中提出了正负术，即正、负数的加减运算法则。法则：同名（同号）相除，异名（异号）相益，正无入负之，负无入正之，其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。也就是我们现在用的正负数和零之间的运算，前四句为减法法则，后四句为加法法则。3、开方术《九章算术》“少广”章有“开方术”和”开立方术”，给出了开平方和开立方的算法。开方术本质上是一种减根变换法，开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河。《九章算术》开方术实际上包含了二次方程的数值求解程序，称为“开带从平方法”。而且在《九章算术》中还指出了存在有开不尽的情形：若开之不尽者，为不可开。cbxx2古代数学发展魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学理论上的提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。赵爽：又名婴，字君卿，中国数学家。东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家。生平不详，约生活于公元3世纪初。他简明扼要地总结出中国古代勾股算术的深奥原理。详细解释了《周髀算经》中勾股定理，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”。又给出了新的证明以及勾股三边及其和、差的24个命题。另外，他的个人研究还包括出入相补原理，并研究二次方程问题，得出与韦达定理类似的结果，得到二次方程求根公式之一。勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦刘徽（约公元225年—295年）汉族，山东邹平县人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛经》，是中国最宝贵的数学遗产，刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张观．在中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题．刘徽对《九章算术》中的大多数解法做了详细证明；代数方面，在线性方程组求解问题上创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术通过对3072边形的计算科学地求出了圆周率π=3.1416的结果。有《海岛算经》传世。《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》。唐初开始单行，研究的对象全是有关高与距离的测量，所使用的工具也都是利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒。所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据，来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远。全书共9题，全是利用测量来计算高深广远的问题，首题测算海岛的高、远，故得名。《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础。李淳风（602年－670年）唐代杰出的天文学家、数学家，岐州雍人（今陕西省岐山县）。他受诏主持并与国学算学博士梁述、太学助教王真儒等注解的《周髀算经》和《古算十经》颁行为全国教材，是世界上最早的数学教材，对后世东方数学影响巨大深远。中国、日本、朝鲜、越南等国一直沿用到近代。李约瑟博士称其为：“整个中国历史上最伟大的数学著作注解”。《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《缀术》《五曹算经》《五经算术》《缉古算术》《孙子算经》有各类算题64问“鸡兔同笼问题”：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”《张邱建算经》“百鸡问题”：“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”“今有环山道路一周长325里，甲、乙、丙三人环山步行，已知他们每天分别能步行150、120、90里，如果步行不间断，问从同一起点出发，多少天后再相遇于出发点？”祖冲之（公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。为避战乱，河北迁至江南。祖冲之从小接受家传的科学知识。青年时进入华林学省，从事学术活动。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。祖冲之证明圆周率应该在3.1415926和3.1415927之间。成为世界上第一个把圆周率的准确数值计算到小数点以后七位数字的人。直到一千年后，这个记录才被阿拉伯数学家阿尔·卡西和法国数学家维叶特所打破。祖冲之还与他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们当时采用的一条原理是：“幂势既同，则积不容异。”意即：位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。在西方被称为“卡瓦列利原理”，但这是在祖冲之以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利发现的。古代数学繁荣960年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，这些都为数学发展创造了良好的条件。从11～14世纪约300年期间，出现了一批著名的数学家和数学著作，很多领域都达到古代数学的高峰，其中一些成就也是当时世界数学的高峰。宋元数学四大家杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今杭州）人，中国古代数学家和数学教育家，生平履历不详。由现存文献可推知，杨辉担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带，他署名的数学书共五种二十一卷。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。(1)杨辉不遗余力改进计算技术，大大加快了运算工具改革的步伐。(2)纵横图：杨辉不仅给出了这些图的编造方法，而且对一些图的一般构造规律有所认识，打破其神秘性。这是世界上对幻方最早的系统研究和记录。(3)垛积术：是继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数求和的研究。在《详解九章算法》和《算法通变本末》中记叙了若干二阶等差级数求和公式。沈括、杨辉等所讨论的级数与一般等差级数不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差相等(4)杨辉还是一位杰出的数学教育家。他一生致力于数学教育和数学普及，其著述有很多是为了数学教育和普及而写。《算法通变本末》中载有杨辉专门为初学者制订的“习算纲目”，它集中体现了杨辉的数学教育思想和方法。李冶(1192～1279)，中国金元时期的数学家，原名李治，字仁卿，号敬斋，真定栾城人（今河北省石家庄）。金代曾任河南钧州地方长官。元朝后，长期在封龙山（今河北元氏）隐居讲学。著有《测圆海镜》、《益古演段》、《泛说》、《敬斋古今》、《壁书丛削》。其主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质。《测圆海镜》9种求直角三角形内切圆直径的方法，且给出一批新的求圆径公式。阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系，还总结出一套简明实用的天元术程序，并给出化分式方程为整式方程的方法。他发明了负号和一套先进的小数记法，采用了从零到九的完整数码。并首先使用记号〇李冶认识到，天元术是从几何中产生。因此，为使人们理解天元术，就需回顾它与几何的关系，给代数以几何解释，于是便产生了《益古演段》秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家，字道古，汉族，自称鲁郡（今山东曲阜）人，生于普州安岳（今属四川）。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。（1）“大衍求一术”，领先卡尔·弗里德里希·高斯554年，被康托尔称为“最幸运的天才”。“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。（2）创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，也是中世纪世界数学的最高成就，秦九韶的此项成果比1819年英国人霍纳的同样解法早572年。（3）秦九韶改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致；（4）三斜求积术”，海伦公式。朱世杰（1249年－1314年），字汉卿，号松庭，汉族，燕山（今北京）人氏，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉。朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。此外他还创造出“垛积法”，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术”，即高次内插法。主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。朱世杰的主要贡献是创造了一套完整的消未知数方法，称为四元消法．这种方法在世界上长期处于领先地位，直到18世纪，法国数学家贝祖提出一般高次方程组解法，才超过朱世杰。除四元术外，《四元玉鉴》中还有两项重要成就，即创立了一般的高阶等差级数求和公式及等间距四次内插法公式，此书代表着宋元数学的最高水平，美国科学史家萨顿称赞它“是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪的杰出数学著作之一”。在数学的很多领域，宋元数学的成就代表了当时世界数学发展的高度，但宋元数学成就没有