03复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？

03|复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？file:///F/temp/geektime/数据结构与算法之美/03复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？.html[2019/1/1515:35:11]03|复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？我们都知道，数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题，即如何让代码运行得更快，如何让代码更省存储空间。所以，执行效率是算法一个非常重要的考量指标。那如何来衡量你编写的算法代码的执行效率呢？这里就要用到我们今天要讲的内容：时间、空间复杂度分析。其实，只要讲到数据结构与算法，就一定离不开时间、空间复杂度分析。而且，我个人认为，复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。复杂度分析实在太重要了，因此我准备用两节内容来讲。希望你学完这个内容之后，无论在任何场景下，面对任何代码的复杂度分析，你都能做到“庖丁解牛”般游刃有余。为什么需要复杂度分析？你可能会有些疑惑，我把代码跑一遍，通过统计、监控，就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢？这种分析方法能比我实实在在跑一遍得到的数据更准确吗？首先，我可以肯定地说，你这种评估算法执行效率的方法是正确的。很多数据结构和算法书籍还给这种方法起了一个名字，叫事后统计法。但是，这种统计方法有非常大的局限性。1.测试结果非常依赖测试环境测试环境中硬件的不同会对测试结果有很大的影响。比如，我们拿同样一段代码，分别用IntelCorei9处理器和IntelCorei3处理器来运行，不用说，i9处理器要比i3处理器执行的速度快很多。还有，比如原本在这台机器上a代码执行的速度比b代码要快，等我们换到另一台机器上时，可能会有截然相反的结果。2.测试结果受数据规模的影响很大后面我们会讲排序算法，我们先拿它举个例子。对同一个排序算法，待排序数据的有序度不一样，排序的执行时间就会有很大的差别。极端情况下，如果数据已经是有序的，那排序算法不需要做任何操作，执行时间就会非常短。除此之外，如果测试数据规模太小，测试结果可能无法真实地反应算法的性能。比如，对于小规模的数据排序，插入排序可能反倒会比快速排序要快！所以，我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。这就是我们今天要讲的时间、空间复杂度分析方法。大O复杂度表示法算法的执行效率，粗略地讲，就是算法代码执行的时间。但是，如何在不运行代码的情况下，用“肉眼”得到一段代码的执行时间呢？这里有段非常简单的代码，求1,2,3…n的累加和。现在，我就带你一块来估算一下这段代码的执行时间。intcal(intn){intsum=0;inti=1;for(;i=n;++i){sum=sum+i;}returnsum;03|复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？file:///F/temp/geektime/数据结构与算法之美/03复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？.html[2019/1/1515:35:11]}从CPU的角度来看，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的CPU执行的个数、执行的时间都不一样，但是，我们这里只是粗略估计，所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为unit_time。在这个假设的基础之上，这段代码的总执行时间是多少呢？第2、3行代码分别需要1个unit_time的执行时间，第4、5行都运行了n遍，所以需要2n*unit_time的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是(2n+2)*unit_time。可以看出来，所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数成正比。按照这个分析思路，我们再来看这段代码。intcal(intn){intsum=0;inti=1;intj=1;for(;i=n;++i){j=1;for(;j=n;++j){sum=sum+i*j;}}}我们依旧假设每个语句的执行时间是unit_time。那这段代码的总执行时间T(n)是多少呢？第2、3、4行代码，每行都需要1个unit_time的执行时间，第5、6行代码循环执行了n遍，需要2n*unit_time的执行时间，第7、8行代码循环执行了n2遍，所以需要2n2*unit_time的执行时间。所以，整段代码总的执行时间T(n)=(2n2+2n+3)*unit_time。尽管我们不知道unit_time的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数n成正比。我们可以把这个规律总结成一个公式。注意，大O就要登场了！我来具体解释一下这个公式。其中，T(n)我们已经讲过了，它表示代码执行的时间；n表示数据规模的大小；f(n)表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用f(n)来表示。公式中的O，表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比。所以，第一个例子中的T(n)=O(2n+2)，第二个例子中的T(n)=O(2n2+2n+3)。这就是大O时间复杂度表示法。大O时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotictimecomplexity），简称时间复杂度。当n很大时，你可以把它想象成10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大O表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n)=O(n)；T(n)=O(n2)。时间复杂度分析03|复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？file:///F/temp/geektime/数据结构与算法之美/03复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？.html[2019/1/1515:35:11]前面介绍了大O时间复杂度的由来和表示方法。现在我们来看下，如何分析一段代码的时间复杂度？我这儿有三个比较实用的方法可以分享给你。1.只关注循环执行次数最多的一段代码我刚才说了，大O这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的n的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。为了便于你理解，我还拿前面的例子来说明。intcal(intn){intsum=0;inti=1;for(;i=n;++i){sum=sum+i;}returnsum;}其中第2、3行代码都是常量级的执行时间，与n的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第4、5行代码，所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过，这两行代码被执行了n次，所以总的时间复杂度就是O(n)。2.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度我这里还有一段代码。你可以先试着分析一下，然后再往下看跟我的分析思路是否一样。intcal(intn){intsum_1=0;intp=1;for(;p100;++p){sum_1=sum_1+p;}intsum_2=0;intq=1;for(;qn;++q){sum_2=sum_2+q;}intsum_3=0;inti=1;intj=1;for(;i=n;++i){j=1;for(;j=n;++j){sum_3=sum_3+i*j;}}returnsum_1+sum_2+sum_3;}这个代码分为三部分，分别是求sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。第一段的时间复杂度是多少呢？这段代码循环执行了100次，所以是一个常量的执行时间，跟n的规模无关。03|复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？file:///F/temp/geektime/数据结构与算法之美/03复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？.html[2019/1/1515:35:11]这里我要再强调一下，即便这段代码循环10000次、100000次，只要是一个已知的数，跟n无关，照样也是常量级的执行时间。当n无限大的时候，就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以不管常量的执行时间多大，我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢？答案是O(n)和O(n2)，你应该能容易就分析出来，我就不啰嗦了。综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为O(n2)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是：如果T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)),O(g(n)))=O(max(f(n),g(n))).3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积我刚讲了一个复杂度分析中的加法法则，这儿还有一个乘法法则。类比一下，你应该能“猜到”公式是什么样子的吧？如果T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).也就是说，假设T1(n)=O(n)，T2(n)=O(n2)，则T1(n)*T2(n)=O(n3)。落实到具体的代码上，我们可以把乘法法则看成是嵌套循环，我举个例子给你解释一下。intcal(intn){intret=0;inti=1;for(;in;++i){ret=ret+f(i);}}intf(intn){intsum=0;inti=1;for(;in;++i){sum=sum+i;}returnsum;}我们单独看cal()函数。假设f()只是一个普通的操作，那第4～6行的时间复杂度就是，T1(n)=O(n)。但f()函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是T2(n)=O(n)，所以，整个cal()函数的时间复杂度就是，T(n)=T1(n)*T2(n)=O(n*n)=O(n2)。我刚刚讲了三种复杂度的分析技巧。不过，你并不用刻意去记忆。实际上，复杂度分析这个东西关键在于“熟练”。你只要多看案例，多分析，就能做到“无招胜有招”。几种常见时间复杂度实例分析虽然代码千差万别，但是常见的复杂度量级并不多。我稍微总结了一下，这些复杂度量级几乎涵盖了你今后可以接触的所有代码的复杂度量级。03|复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？file:///F/temp/geektime/数据结构与算法之美/03复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？.html[2019/1/1515:35:11]对于刚罗列的复杂度量级，我们可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2n)和O(n!)。当数据规模n越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此，关于NP时间复杂度我就不展开讲了。我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。1.O(1)首先你必须明确一个概念，O(1)只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有3行，它的时间复杂度也是O(1），而不是O(3)。inti=8;intj=6;intsum=i+j;03|复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消