高中数学人教版选修2-2-2-3知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为yff(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)xxx2x1x注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念是什么？答：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是yf(x0x)f(x0)，则称函数limlimxx0xx0可导，并把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f'(x0)f'(x0)=limylimf(x0x)f(x0).x0xx0x3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分ycy'0————————ndxxn1ynnN*y'nxn1xn1xyaxa0,a1y'axlnaaxdxaxlnayf(x)在点x0处或y'|xx0，即yexy'exexdxexylogaxy'1————————a0,a1,x0xlnaylnxy'11dxlnxxxysinxy'cosxcosxdxsinxycosxy'sinxsinxdxcosx6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若fx，gx均可导（可积），则有：和差的导数运算'f'(x)g'(x)f(x)g(x)f(x)g(x)''(x)g(x)f(x)g'(x)积的导数运算f特别地：Cfx'Cf'x商的导数运算复合函数的导数'f'(x)g(x)f(x)g'(x)f(x)g(x)2(g(x)0)g(x)特别地：1g'(x)'g2xgxyxyuux1微积分基本定理和差的积分运算积分的区间可加性b（其中F'xfx）fxdxabbb[f1(x)f2(x)]dxaf1(x)dxf2(x)dxaabb为常数kf(x)dxk)f(x)dx(k特别地：aabcb(其中)()dx()dx()fxfxfxdxacbaac6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：①求函数f(x)的导数f'(x)②令f'(x)0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f'(x)0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。7.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。(2)求函数f(x)的导数f'(x)(3)求方程f'(x)=0的根(4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求f(x)在a,b上的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？答：分割近似代替求和取极限（“以直代曲”的思想）10.定积分的性质有哪些？根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1bba1dxa性质5若f(x)0,xa,b，则bf(x)dx0abf2(x)fmbbb①推广：[f1(x)(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)aaaabf(x)dxc1c2b②推广:f(x)dxc1f(x)dxf(x)dxaack11定积分的取值情况有哪几种？答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.(l）当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；（3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．12．物理中常用的微积分知识有哪些？答：（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。2推理与证明知识点13.归纳推理的定义是什么？答：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。．．．．．．．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。．．．．14.归纳推理的思维过程是什么？答：大致如图：实验、观察概括、推广猜测一般性结论15.归纳推理的特点有哪些？答：①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。16.类比推理的定义是什么？答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。．．．．17.类比推理的思维过程是什么？答：观察、比较联想、类推推测新的结论18.演绎推理的定义是什么？答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。．．．．19．演绎推理的主要形式是什么？答：三段论20.“三段论”可以表示为什么？答：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。21.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？答：直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。22.什么是综合法？答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。23.什么是分析法？答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。24什么是间接证明？答：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。25.反证法的一般步骤是什么？答：1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。．．．26常见的“结论词”与“反义词”有哪些？原结论词反义词原结论词反义词至少有一个一个也没有对所有的x都成立存在x使不成立3至多有一个至少有两个对任意x不成立存在x使成立至少有n个至多有n-1个p或qp且q至多有n个至少有n+1个p且qp或q27.反证法的思维方法是什么？答：正难则反．．．．28.如何归缪矛盾？答：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾．．．．．．．．．．．．．．．．．29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤是什么？．．．答：(1)证明：当n取第一个值．．．．n0n0N时命题成立；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.．．．．．由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。数系的扩充和复数的概念知识点30.复数的概念是什么？答：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫实部，b叫虚部，数集Cabi|a,bR叫．．．．做复数集。规定：abicdia=c且，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。b=d．．．．．．．实数(b)031．数集的关系有哪些？答：复数Z虚数(b一般虚数(a0)0)纯虚数(a0)32.复数的几何意义是什么？答：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。33.什么是复平面？答：根据复数相等的定义，任何一个复数zabi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定。由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。34.如何求复数的模(绝对值)？答：与复数z对应的向量OZ的模r叫做复数zabi的模(也叫绝对值)记作z或abi。由模的定义可知：zabia2b235.复数的加、减法运算及几何意义是什么？答：①复数的加、减法法则：z1abi与z2cdi，则z1z2ac(bd)i。注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。．．②复数的乘法法则：(abi)(cdi)acbdadbci。③复数的除法法则：abi(abi)(cdi)acbdbcadi其中cdi叫做实数化因子cdi(cdi)(cdi)c2d2c2d236.什么是共轭复数？答：两复数abi与abi互为共轭复数，当b0时，它们叫做共轭虚数。常见的运算规律(1)zz;(2)zz2a,zz2bi;(3)zz2z2a2b2;(4)zz;(5)zzzRz2(7)1i2i;(8)1ii,1ii,1ii(6)i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n41;1i1i2(9)设13i是1的立方虚根，则120，3n1,3n2,3n3124数学选修2-3导数及其应用知识点----第一章计数原理知识点什么是分类加法计数原理？答：做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法⋯在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事情共有Nm1m2mn种不同的方法。1.什么是分步乘法计数原理？答：做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法⋯⋯做第n个步骤有mn种不同的方法。那么完成这件事情共有Nm1m2mn种不同的方法。2.排列的定义是什么？答：一般地，从n个不同的元素中任取mmn个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个排列。3.组合的定义是什么？答：一般地，从n个不同的元素中任取mmn个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个组合。4.什么是排列数？答：从n个不同的元素中任取mmn个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的排列数，记作Anm。5.什么是组合数？答：从n个不同的元素中任取mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的组合数，记作Cnm。7.排列数公式有哪些？n！mnn1n2nm1m答：（1）An或An；nm!（2）Annn!，规定0!1。8.组合数公式有哪些？答：（1）Cnmnn1n2nm1或Cnmn！；m!m!nm!（2）CnmCnnm，规定Cn01。9.排列与组合的区别是什么？答：排列有顺序，组合无顺序。10.排列与组合的联系是什么？答：AnmCnmAmm，即排列就是先组合再全排列。11.排列与组合的性质有哪些？答：两个性质公式：（1）排列的性质公式：Anm1AnmmAnm1（2）组合的性质公式：CnmCnnm；Cnm1CnmCnm112.二项式定理是什么？答：abnCn0anCn1an1bCn2an2b2CnranrbrCnnbnnN。13二项展开式的通项是什么？答：Tr1Cnranrbr0rn,rN,nN。14.1xn的展开式是什么？答：1xnCn0xnC1nxn1Cn2xn2Cnnx0，若令x1，则有11n2nCn0Cn1Cn2Cnn。5应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和即令式子中变量为1。第二章随机变量及其分布知识点15.什么是随机变量？X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变答：在某试验中，可能出现的结果可以用一个变量化的，我们把这样的变量