代数方程练习题解析

参考答案与试题解析A组一．（共30小题）1．在方程、、、中，无理方程共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：无理方程．230100分析：无理方程是被开方数中含有未知数的方程，根据定义即可判断．解答：解：、、都是无理方程；x2+2x﹣=0是一元二次方程，是整数方程．故选C．点评：本题考查的是根式方程的定义，根式里含有未知数的方程叫根式方程．2．三角形的三条边长分别为2、k、4，若k满足方程k2﹣6k+12﹣=0，则k的值（）A．2B．3C．3或4D．2或3考点：无理方程；三角形三边关系．230100专题：计算题．分析：本题需先对方程k2﹣6k+12﹣=0进行整理，再根据三角形的三条边长的之间的关系，判断出k的取值，即可得出正确答案．解答：解：k2﹣6k+12﹣=0k2﹣6k+12﹣=0∵2、k、4分别是三角形的三条边长∴2+4＞k∴k＜6∴k2﹣6k+12﹣=0k2﹣6k+12+（k﹣6）=0整理得：（k﹣2）（k﹣3）=0∴k=2（不合题意舍去）或k=3故选B．点评：本题主要考查了解无理方程和三角形三边之间的关系，在解题时要根据已知条件和三角形三边之间的关系是解本题的关键．3．已知，则x等于（）A．4B．±2C．2D．±4考点：无理方程．230100专题：计算题．分析：已知，先化简再求值即可得出答案．解答：解：已知，∴x＞0，∴原式可化简为：++3=10，∴=2，两边平方得：2x=4，∴x=2，故选C．点评：本题考查了解无理方程，属于基础题，关键是先化简后再根据平方法求无理方程．4．若，则x+y的值为（）A．9B．1C．9或1D．无法确定考点：无理方程．230100专题：计算题．分析：设=a，将原式化为一元二次方程求解即可解答．解答：解：设=a，原方程可变为a2+2a=3，变形为a2+2a﹣3=0，解得a=﹣3或a=1，又∵不能为负，∴x+y=1．故选A．点评：本题主要考查无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了换元法．5．方程的所有解的和为（）A．4B．3C．2D．0考点：无理方程；二次根式的性质与化简．230100专题：计算题．分析：先把根式化简，再讨论x的取值范围，根据两边平方即可求出方程的解，从而得出答案．解答：解：方程，∴=3，当x≥1时，=3，两边平方得：x2﹣4x+4=9，解得：x=﹣1或x=5，∵x≥1，∴x=5，当x＜1时，=3，两边平方得：x2=9，∴x=±3，∵x＜1，∴x=﹣3，故所有解的和为：5+（﹣3）=2，故选C．点评：本题考查了无理方程及二次根式的化简，属于基础题，关键是先化简二次根式再求值．6．已知四个方程①；②；③；④，其中有实数解的方程的个数是（）个．A．1B．2C．3D．4考点：无理方程．230100专题：计算题．分析：①根据被开方数为非负数即可判断；②根据分子不为0即可判断；③根据两个非负数相加为0，则两个数同时为0即可得出答案；④移项后两边平方即可求出x的值．解答：解：方程①中得，无实数解，方程②中分子不为0，也没有实根，方程③中若两个根式的和为0，则应同时满足4x﹣1=0和5﹣3x=0，相互矛盾，所以也没有实根，只有方程④，=x﹣2，两边同时平方，x+4=x2﹣4x+4，解得：x1=0（舍去），x2=5．故选A．点评：本题考查了无理方程，属于基础题，关键是掌握用平方法解无理方程．7．下列方程中有实数解的是（）A．x2+3=0B．C．D．考点：无理方程；分式方程的解．230100分析：A是一元二次方程可以根据其判别式判断其根的情况；B、C是分式方程，能使得分子为零，分母不为零的就是方程的根；D是无理方程，容易看出没有实数根．解答：解：A中△=02﹣4×1×3=﹣12＜0，方程无实数根；B中x=0是方程的根；C中分子不为零的分式方程不可能为0，无实数根；D原方程可化为=﹣3＜0，此根式无意义．故选B．点评：此题考查的是一元二次方程根的情况与判别式△的关系．在解分式方程时要验根，不要盲目解答；解二次根式时要注意被开方数必须大于0．8．已知下列关于x的方程：①；②+1=0；③+2x=7；④﹣7=0；⑤+=2；⑥﹣=．其中，是无理方程的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：无理方程．230100专题：计算题．分析：根据无理方程的定义，找出无理方程，即可解答．解答：解：①根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；②根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；③根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；④根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；⑤根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；⑥根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；所以，②④⑤是无理方程；故选B．点评：本题主要考查了无理方程的定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．9．下列方程中，没有实数解的是（）A．B．C．x4﹣x2﹣2=0D．x2+y2=1考点：无理方程；高次方程；解分式方程．230100专题：计算题．分析：逐个对每一项进行分析解答，通过分析解答每一项的方程，来了解它们有无实数解．解答：解：A、解得x=±2，又x+2≠0，即x≠﹣2，所以，方程有实数根x=2；故本项正确；B、化简后为x2﹣x+2=0，△＜0，所以无实数解，故本选项错误；C、解得x=±或x=﹣1，故本选项正确；D、当x=0时，y=±1，有实数解，故本选项正确．故选B．点评：本题主要考查解无理方程、高次方程和分式方程，关键在于熟练掌握解无理方程、高次方程和分式方程的方法．10．下列说法正确的是（）A．是二元二次方程B．x2﹣x=0是二项方程C．是分式方程D．是无理方程考点：无理方程；高次方程．230100分析：利用无理方程及高次方程的定义进行判断即可得到答案；解答：解：A、含有两个未知数，且未知数的次数是2，故是二元二次方程，故正确；B、x2﹣x=0是二次方程，故错误；C、分母里不含未知数，不是分式方程，故错误；D、被开方数不含分母，不是无理方程，故错误，故选A．点评：本题考查了无理方程及高次方程的定义，解题的关键是熟悉这些方程的定义．11．下列关于x的方程中，有实数根的是（）A．x2+2x+3=0B．x3+2=0C．D．．考点：无理方程．230100分析：先计算出△，再根据△的意义可对A进行判断；利用立方根的定义可对B进行判断；对于C，先去分母得x=1，而x=1时，分母x﹣1=0，即x=1是原方程的增根，则原方程没有实数根；对于D，先移项得到=﹣3，然后根据二次根式的非负性易判断方程无实数解．解答：解：A、△=4﹣4×3=﹣8＜0，则方程没有实数根，所以A选项不正确；B、x3=﹣2，则x=﹣，所以B选项正确；C、去分母得x=1，而x=1时，分母x﹣1=0，则x=1是原方程的增根，原方程没有实数根，所以C选项不正确；D、=﹣3，方程左边为非负数，右边为负数，则方程无实数解，所以D选项不正确．故选B．点评：本题考查了无理方程：根号下含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程常用平方法或换元法把它转化为整式方程，解整式方程，然后检验确定无理方程的解．也考查了一元二次方程根的判别式以及解分式方程．12．下列方程中为无理方程的是（）A．B．C．D．考点：无理方程．230100分析：根据无理方程的定义进行的解答分析，根号内含有未知数的方程叫做无理方程．解答：解：A项的根号内不含有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误，B项的根号内含有未知数，是无理方程，故本选型正确，C项的根号内不含有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误，D项的根号内不含有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误，故选择B点评：本题主要考查无理方程的定义，关键在于分析各方程的根号内是否含有未知数．13．下列关于x的方程中，一定有实数根的是（）A．B．C．D．考点：无理方程．230100专题：计算题．分析：A、根据算术平方根的定义即可确定是否有实数根；B、根据二次根式有意义确定x的取值范围，然后两边平方解方程，最后根判定是否有意义；C、D、根据二次根式的性质即可确定方程是否有实数根；解答：解：A、的解为x=﹣1，所以方程有实数根，故本选项正确；B、∵=2﹣x，∴x﹣3＞0，即x＞3，但是此时2﹣x＜0，方程不成立，故本选项错误；C、∵≥0，∴不成立，故本选项错误；D、∵是非负数，∴它们的和是非负数，故本选项错误．故选A．点评：此题主要考查了解无理方程的方法及二次根式的性质，其中解无理方程最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．14．方程的解的情况是（）A．无解B．恰有一解C．恰有两个解D．有无穷多个解考点：无理方程．230100分析：此题需将方程变形为，再分三种情况讨论，即可得出方程解的情况；解答：解：将方程变形为…①，若，则①成为，即，得x=10；若，则①成为，即，得x=5；若，即5＜x＜10时，则①成为，即1=1，这是一个恒等式，满足5＜x＜10的任何x都是方程的解，结合以上讨论，可知，方程的解是满足5≤x≤10的一切实数，即有无穷多个解．故选：D．点评：此题考查了无理方程；解题的关键是将方程进行变形，解题时要注意分三种情况进行讨论．B组15．如果满足=a的实数x恰有6个值，那么a的取值范围是（）A．a≥﹣5B．C．D．0≤a≤5考点：无理方程；绝对值；二次根式的应用；不等式的解集．230100分析：根据x的取值范围去来化简二次根式，然后根据绝对值的性质、二次函数的最值来求a的取值范围．解答：解：=|（x﹣1）（x﹣2）|；①当x﹣1＞0，且x﹣2＞0，即x＞2时，=|x2﹣3x+2﹣5|=|（x﹣）2﹣|，当x=时，=a=，∴0≤a＜；②当x﹣1＞0，且x﹣2＜0，即1＜x＜2时，=|﹣x2+3x﹣2﹣5|=|（x﹣）2+|；当x=时，=a=，∴a=≥；③当x﹣1＜0，且x﹣2＜0，即x＜1时，=|x2﹣3x+2﹣5|=|（x﹣）2﹣|，当x=时，=a=，∴0≤a＜；④当x﹣1=0或x﹣2=0，即x=1或x=2时，=|﹣5|=5；综上所述，a的取值范围是：0≤a≤5；故选D．点评：本题综合考查了二次根式的应用、无理方程的解法、绝对值以及不等式的解集．解答该题时，采用了分类讨论的解题方法．16．方程+=12的实数解个数为（）A．0B．1C．2D．3考点：无理方程．230100分析：首先由题意可知，x+19是完全平方数，x+95是立方数，然后利用分类讨论思想求解即可．解答：解：由题意得：x+19≥0，∴x≥﹣19，∴x+95≥76，∵+=12，∴x+19是完全平方数，且x+19＜144，∴当x+19=0时，不是有理数，舍去，当x+19=1时，不是有理数，舍去，当x+19=4时，不是有理数，舍去，当x+19=9时，不是有理数，舍去，当x+19=16时，不是有理数，舍去，当x+19=25时，不是有理数，舍去，当x+19=36时，不是有理数，舍去，当x+19=49时，=5，符合题意，此时x=30；当x+19=64时，=8，＞5，此时8+5＞12，∴当x+19＞64时，不符合题意．故方程+=12的实数解个数为1个．故选B．点评：此题考查了无理方程的实数根问题．注意抓住完全平方数是解此题的关键．17．已知a为非负实数，若关于x的方程至少有一个整数根，则a可能取值的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：无理方程．230100专题：方程思想．分析：首先根据方程2x﹣a﹣a+4=0求得a=．再假设=y（y为非负整数），则求得x代入转化为y的方程．利用整数的特点进一步确定y的值，进而求得a的值．解答：解：2x﹣a﹣a+4=0，显然满足条件的x，必使得为整数，否则a=不可能为整数，设=y（y为非负整数），则原式变为2（1﹣y2）﹣ay﹣a+4=0，⇒a=，∵y为非负整数（又4能整除1+y），∴要使a为整数，则y=0，1，3，∵a为非负实数，∴a=6，2．当a=0时，2x+4=0，则x=﹣2，为整数，符合题意，故选C．点评：本题考查一元二次方程整数根