6.5三角形内角和证明

主讲人：周嘉庆1.三角形内角和定理：三角形三个内角之和等于180°。2.了解辅助线的作用，逐步学会添加辅助线证明和解决几何问题。我们通过什么判定两直线平行？我们可以通过同位角、内错角相等，同旁内角互补来判定两直线平行我们还学过平行线的什么性质？我们可以通过两直线平行来得到同位角、内错角相等，同旁内角互补今天我们就要用这些概念来证明三角形内角和定理，并去解决相关的一些问题。我们知道三角形三个内角的和等于180°。你还记得这个结论的探索过程吗?(1)如图,当时我们是把三角形“撕开”，把∠A移到了∠1的位置∠B移到了∠2的位置构成平角180°(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.1D2123CAB如果不实际移动∠A和∠B,那么你还有其它方法可以达到同样的效果?ABC已知:如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置。证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB∴∠1=∠A∠2=∠B又∵∠1+∠2+∠3=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°123DE三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°在这里为了证明三个角的和为180°,我们把三角形的三个角转化为一个平角。这种转化思想是数学中的常用方法。ABC123DE在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线。这就叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。证明三角形内角和定理，还有一种方法可以把三个角“凑”到一起。比如过点A作直线PQ//BC（如图）。这个方法可行吗？ABCQP添加辅助线方法：在三角形顶点，一边，或者三角形外添加EABCDF图2ABNCTS图3PQRMANBCTS图4PQRMABCE图1F1.光线以如图的角度照射到平面镜,然后在平面镜和之间来回反射，已知=60°，=50°，则等于多少度？11221ABC思路分析：由反射角等于入射角可得∠1=∠2=∠3等于∠，所以求出∠BAC是关键。123解：∵在△ABC中，得∠1=60°，∠2=50°∴∠BAC=180°-60°-50°=70°∴∠=（180°-70°）=55°212.如图，已知△ABC中，∠B和∠C的平分线BD，CE交点O.求证：∠BOC=90°+1/2∠AABCDEO证明：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠ABC+∠ACB=180°－∠A又∵BD、CE平分∠ABC、∠ACB∴∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠ACB)∴∠BOC=180°－（∠OBC+∠OCB)=180°－1/2（∠ABC+∠ACB）=180°－1/2（180°－∠A）=180°－90°+1/2∠A=90°+1/2∠ACAEDB3.如图，已知在△ABC中，AC=AD,BC=BE,∠ACB=100°求∠ECD的度数。解：∵AC=AD∴∠ACD=∠ADC=90°－1/2∠A同理可得：∠BCE=∠BEC=90°－1/2∠B又∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°且∠A=∠B=180°－100°=80°∴∠ECD=180°－∠CED－∠CDE=180°－∠ADC－∠BEC=180°－（90°－1/2∠A）－（90°－1/2∠B）=1/2∠A+1/2∠B=40°4.如图，已知AD是△ABD和△ACD的公共边.求证：∠BDC=∠BAC+∠B+∠CABCD12∴∠1+∠2=180°-（∠BAC+∠ABD+∠ACD），∴∠1+∠2=180°-∠BDC∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD（等量代换）即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C（方法一）证明：连接BC，得到∠1、∠2在△ABC中，∠BAC+∠ABD+∠ACD+∠1+∠2=180°同理可证：在△BDC中，∠1+∠2+∠BDC=180°4.如图，已知AD是△ABD和△ACD的公共边.求证：∠BDC=∠BAC+∠B+∠CABCD又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义）∴∠BDC＝360°－（180°－∠B－∠3）－（180°－∠C－∠4）＝∠B+∠C+∠3+∠4即∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC（方法二）证明：∵在△ABD中,∠1＝180°－∠B－∠3，同理可得,∠2＝180°－∠C－∠41234证明题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;(4)分析题意,探索证明思路;(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.课本P239☞1.直角三角形两锐角之和是多少？正三角形一个内角是多少？ABCDE2.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，求∠ADE的度数?用运动变化的观点理解认识数学在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接近BC时,∠A就越来越接近180°而∠B和∠C越来越接近0°由此你能想到什么?如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC时,∠A就越来越接近0°而∠B和∠C则越来越大,它们的和越来越接近1800,当把点A拉到无穷远时,便有AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于180°由此你能想到什么?CBACBA读一读P240本节主要学习了三角形内角和定理的证明及其应用。我们在学习过程中加强对图形的感知能力，结合条件和结论，寻求二者之间的桥梁，然后运用定理、公理解决问题。在运用三角形内角和定理解题时，关键是如何把与条件和结论有通过辅助线整理在一起。已知：如图，∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°，求证：AB∥CDDFNMBAC