错位相减法

谈“错位相减法”错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等差数列与等比数列相乘的形式。由于错位相减法可以考查等差数列和等比数列的定义及通项公式、等比数列的前n项和公式、幂的运算公式、提公因式、加（减）法结合律、运算能力以及分类讨论数学思想的运用，故它是高考热点。但是相当一部分考生总是得分比例低，甚至不得分。针对这种情况，我冷静思考、认真分析，认为主要原因之一便是老师讲解的不够到位。结合我的教学经验和大多数学生经常犯的典型错误，我认为如果按一定的流程进行讲解，就可以让更多的学生掌握这种求和方法。下面举一例说明该流程。例：设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab.（Ⅰ）求{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nnab的前n项和nS．分析：（Ⅰ）设na的公差为d，nb的公比为q，则依题意有0q且4212211413dqdq，，解得2d，2q．所以1(1)21nandn，112nnnbq．（Ⅱ）由（Ⅰ）得1212nnnanb．1.明确数列nnab是等差数列na与等比数列1nb的对应项相乘积得到的，故用“错位相减法”。找到等差数列na的公差为2、等比数列1nb的公比为12。2.给出01221135232122222nnnnnS①时，等差数列na中的各项内部能进行简单计算的要进行计算，如该数列的第一到第三项，第n-1、第n项则应该保持其通项公式的特征；而等比数列1nb中的各项却都要保持其通项公式的特征。这样就可以犯错误的概率，这步我认为是最关键的！3.01221135232122222nnnnnS，①的左右两端同乘以等比数列1nb的公比12得：123111352321222222nnnnnS，②4.错位相减得：即①－②得121122221122222nnnnS，（勿忘将最后一项的符号改为“”号）12111121122222nnn(1n数准确上式括号里应该是项的和,“2”即为等差数列的公差）111(1)2122121212nnn（合并同类项）2332nn．12362nnns另外，待用错位相减法求和的数列的通项公式中若有常数（无论是等差数列还是等比数列中），均应该将通项公式等价变形，把常数提到“最前面”（本质是提取公因数）单独考虑，达到简化计算的目的。例如：12132nnnc的分母中有“3”，可以将通项公式等价变形为112132nnnc。再如123nnnd的分子中有“2”，可以将通项公式等价变形为123nnnd。除此之外，这类题目还会有一些细微的变化，比如：1.等差数列或等比数列的前一项、前几项乃至前有限项不成等差数列或等比数列。2.错位相减后得第一项可以与“括号中的n-1项”合并构成一等比数列的前n项的和。以上只是最基本的、最重要的组成部分，故要求学生灵活运用以上流程进行处理。