晶体学中的对称群 课堂笔记 复习资料(完整版)

第一章对称操作对称操作的分类：P19表1-4点对称操作：操作过程中至少有一个点不动。符号与示意图：P3图1-3（1）全同操作：不施以任何操作，按HM符号记为1，Schoenflies符号中用E表示。（2）纯旋转：绕着某轴旋转2/nπ角，按HM符号记为n，Schoenflies符号中用nC表示，这里的n称为旋转轴次，只存在1,2,3,4,6n=。（3）倒反：通过某一中心的倒反操作把右手变为左手，改变了图象的左右手向指关系。其符号为1（i）。（4）镜面反映：从空间某给定点向镜面作垂线，沿此线在镜面另一侧得到等距离的点。按HM符号记为m，Schoenflies符号中用σ表示。（5）旋转倒反：HM符号为n，是n次旋转操作与倒反操作两者组成的复合操作。旋转反映：nnS=，与旋转倒反是等价的，一一对应关系为：12,21,36,44,63m+−+−+−======非点式操作：含平移的对称操作，分为螺旋旋转和滑移反映。符号与示意图：P8图1-5（1）螺旋旋转：mn操作表示逆时针旋转2/nπ角并沿螺旋轴正向平移mtn，其中t是沿螺旋轴方向点阵周期。n次旋转是mn螺旋旋转当0m=时的特例。旋转轴和螺旋旋转转轴的符号：P10图1-6（2）滑移反映：(),ggw，同时进行镜面反映与沿平行于镜面的某方向的平移，平移量是该方向平移周期之半，这里的g可以是,,,,abcnd之一。对称面的符号：P11表1-3Seitz符号：先施以点操作W再施以平移操作w，记为(),Ww，其中lg=+，lw：位置分量（垂直于转轴/镜面方向），gw：内禀分量（平行于转轴/镜面方向）。P12乘法：()()()221121212,,,=+逆操作：()()111,,−−−=−增广矩阵W：0001xyz=W点对称操作非点式操作Seitz符号对称操作的几何符号：P22（1）平移：用t表示，t后括号内的数字是平移矢量的分量。eg：11,,022t，即C心平移。PS：与平移有关的都写在括号内，包括螺旋旋转与滑移反映中的平移分量。（2）纯旋转：用数字2,3,4,6n=表示，用数字右上角的+或-号表示旋转向指，最后是转轴的位置。eg：40,,0y+，即绕着直线0,,0y正向旋转90°。（3）螺旋旋转：在括号内给出平移的螺旋分量。eg：11130,0,,,333z−，即绕直线11,,33z反向旋转120°与平移13c的复合操作。（4）反映面：用m表示，后面是镜面的位置。eg：1,,4mxz，即位于1,,4xz处的镜面。（5）滑移反映：一般可用字母g表示，平移的滑移分量写在括号内，随后是滑移面的位置。滑移反映用,,,,abcnd表示时，不必写出滑移分量eg：1111,,,,4424gxxz−，即滑移分量111,,442，滑移面垂直于[110]方向，过10,,04点。eg2：1,,4axy（6）倒反：1，随后是对称中心的位置。eg：10,0,0（7）旋转倒反：右上角标以+或–的3,4,6，随后是旋转倒反轴的位置，最后在分号之后给出倒反点的位置。eg：11140,,;0,,224z，即绕直线10,,2z逆时针旋转90°，并对110,,24点倒反。由对称操作的矩阵求其几何符号：P23由对称操作的几何符号求对称操作矩阵：P28PS：金刚石滑移仅可能在面心正交、体心四方、面心立方和体心立方四种Bravais点阵的空间群中出现，这些点阵或包含有面心平移，或包含有体心平移。几何符号第二章二维晶体学平面点群：10个——1,2,3,4,6,,2,3,4,6mmmmmmmm，P33图2-2，P34表2-1平面点阵：5个——斜交点阵（mp），正交点阵（tp），六角点阵（hp），简单矩形点阵（op），c心矩形点阵（oc），P35图2-3平面晶系：4个——斜交，矩形，正方，六角，P36表2-2初基单胞：只含一个阵点；非初基晶胞：含不止一个阵点；惯用晶胞：能充分反映点阵的对称性的单胞。平面群：17个二维空间群：P39表2-3把每一个平面点群和它相协调的每一个平面点阵组合起来，即让该点阵的阵点所代表的图像单元具有该点阵的对称性，或具有把该点群中的镜线m换成滑移线g之后的对称性，得到17个平面群。平面群的HM完全符号第一个字母（p或c）表示点阵是否有心，字母后的第一位数字表示沿c方向的对称元素，第二、三位的符号分别表示沿平面上两类不同方向的对称元素。第三章群论初步群的基本性质：封闭性、结合律、单位元、逆元，P47重排定理：（P49）设有一个q阶群{}12,,,qGggg=，而ig是其中的一个群元，则igGG=。循环群：（P50）若群G中的每个元都可以写为G中某元a的乘幂，就称G为循环群，而a称为G的生成元。生成元：（P50）如果群G（不一定是循环群）中的每个群元皆可表示为12,,,mggg的乘幂的乘积，则称群G的这些元12,,,mggg为它的一组生成元。交换群：（P51）若某群中任意二群元a与b的结合都满足交换率：abba=，则称这个群为交换群。可交换条件：其中某元素可把另一元素变换成那一元素自己。共轭：（P52）若任意元a把元x按1yaxa−=变成另一元y，则称y与x共轭。称y是x按a所得的变换，或y是x的共轭操作。（1）共轭是相互的（2）共轭是可以传递的。PS：此x为对称操作，eg：镜面操作，旋转操作。写为[][]YaX=时，此[]X为对称元素，eg：转轴，镜面一般来说，如果某客体（晶体）具有若干个同种类的对称元素（如点群3m中的三张互成120°的镜面），而且该客体的对称操作群G中存在着使这些对称元素相互重合的对称操作（如点群3m中的+3[001]和3[001]−），我们就称这些对称元素相互共轭。“对称元素”是转轴、镜面等几何元素。而不是对称群的元素，对称群的群元是对称操作。共轭类：（P55）在群G中任取一元素y，用群G中所有的元素对y进行变换，找出一切与y共轭的元素，这些元素的集合叫做群G中以y为代表的共轭类。共轭类的阶：（P56）共轭类中包含的元素的个数，必为它所属群的阶的一个因数。子群：（P56）某个群G的子集合也可能构成一个群，称为群G的子群。为检验群G中的某子集合是否为群，只需检验封闭性与逆元这两条性质是否成立。子群网：（P57）把有限群G与它的所有最大子群分别用线连起来，再把这些子群又与它们各自的最大子群连起来，如此继续下去到仅含单位元的1阶群1，这样得到的图叫群G的子群网。陪集：（P58）群G的某一子群{}12,,,rHhhh=，bG∈且bH∉，则{}12,,,rbHbhbhbh=称为子群H的一个左陪集，同理右陪集{}12,,,rHbhbhbhb=同一陪集内的元素是互不相同的，不同陪集内的元素互不相同。共轭和共轭类基本定义陪集子群网陪集展开：（P58）设2bG∈且2bH∉，作左陪集{}221222,,,rbHbhbhbh=，若群G中还有不属于2bH的元素，任选其一记为3b，再作陪集{}331323,,,rbHbhbhbh=，如此继续直至群G中再无剩余元素为止。于是群G中的全部元素被展开成子群H及其陪集如下（11b=）：123123ssGbHbHbHbHbHbHbHbH==++++陪集展开定理（拉格朗日定理）：（P59）群G的阶q必为其子群H的阶r的整数倍，或者说，子群H的阶r是群G的阶q的因子。商/qrs=就叫子群H在G中的指数。共轭子群：（P60）设群G有一个r阶子群(){}121,,,rHhhh==，用群G中的某一元素a把整个子群变换成另一个集合{}111112,,,raHaahaahaaha−−−−=，称1aHa−为与H共轭的子群，或称之为H的共轭子群。不变子群：（P61）群G中的任一元素a都把G的某一子群H变换成H自己，即1aHaH−=，则称子群H为自轭子群或不变子或正规子群。H为G的不变子群的充要条件是其对G中任何元素a的左陪集与右陪集相等。当群G的子群H完全由G的完整的共轭类构成时，H就称为不变子群。把群G展开成其子群H的陪集，这些陪集的集合构成一个群的充要条件是H为G的不变子群。商群：（P61）群G的陪集构成的群称为G对其不变子群H的商群，或称为H在G中的因子群，用符号/GH表示。同构：（P63）若群G与G′同阶，G中的任一元ig皆与G′中的某唯一的元ig′对应，G中的乘积ijgg与G′中的乘积ijgg′′对应，则称G与G′同构。或：两个同阶的群有同一种乘法表。同态：（P63）Homomorphism太魔性，我拒绝打这一段T_T外直积：设2个对称操作群H与P：{}231,,,,rHhhh=，{}231,,,,sPppp=，{}1HP=，且它们的元相互相乘时遵从交换律：ijjihpph=，则（1）群H中任一元ih与群P中任一元jp的乘积的集合{}{}ijjiGhpph==构成群G，称G为H与P的外直积，记为：GHPPH=⊗=⊗或GHPPH=×=×（2）外直积群G的阶q为H与P的阶的乘积：qrs=。（3）群H与P都是群G的不变子群。（4）群G中的共轭类，由群H与P中的共轭类的乘积给出。同构同态陪集展开共轭子群不变子群商群外直积半直积：设2个对称操作群H与P：{}231,,,,rHhhh=，{}231,,,,sPppp=，{}1HP=，且1iipHpH−=，则（1）群H中任一元ih与群P中任一元jp的乘积的集合{}ijGhp=构成一个群G，称G为H与P的外直积，记为GHPH=∧=○sP。（不要求群P在群H元的变换下不变）（2）半直积群G的阶q为H与P的阶的乘积：qrs=。（3）群H是群G的不变子群。不变引伸：由不变子群H引伸出较大的群G弱直积：如果群G的阶q是其子群{}231,,,,rHhhh=的阶r与子群{}231,,,,sPppp=的阶s的乘积，即qrs=，且{}1HP=，则群G可以写成其子群H与P的乘积的形式：23sGPHHpHpHpH=⋅=+++或23rGHPPhPhPhP=⋅=+++三者共同条件：{}1HP=区别：当群P的元ip与群H中任一元lh的乘积遵从交换律时，群H与P的乘积构成外直积；当在群P中任一元ip的变换之下群H不变时，群H与P的乘积构成半直积；仅仅满足qrs=时，群H与P的乘积构成弱直积。半直积弱直积三者异同第四章晶体学点群球面三角公式：（P73）,,ABC三旋转轴之间的夹角,,uvw（A与B之间是w，不是u！！！）绕此三轴的旋转角2,2,2UVWαβγ===coscoscoscossinsinWUVwUV+=coscoscoscossinsinUVWuVW+=coscoscoscossinsinVWUvWU+=晶体学点群：32个——晶体中点对称操作集合若满足群的四个基本性质，称为晶体学点群。第一类操作：纯旋转操作，不包含倒反或反映，不改变图像的左右手向指关系第一类操作：非纯旋转操作，包含倒反或反映，改变图像的左右手向指关系两个第二类操作的乘积是第一类操作，两个第一类操作的乘积仍是第一类操作，第一类操作乘第二类操作得到第二类操作。任一个包含有第二类操作的群（即第二类对称群）也包含有第一类操作。纯旋转点群（第一类点群）G：11个——只包含第一类点对称操作的点群即：()()()()()()23461,2,3,4,6,222,32,422,622,23,432DDDDTO，P75表4-2旋转轴的可能组合，P78表4-311个纯旋转晶体学点群及其子群双面点群：（P75）表4-2中包含有一支n次旋转轴和一支与它垂直的2次轴的点群，即：()()()()2346222,32,422,622DDDD双面群定理：如果一个点群中有一支2次旋转轴2[100]与一支n次旋转轴[001]n垂直，那么总将有n支2次轴与[001]n垂直，而相邻2支2次轴的夹角为122nπ⋅。立方点群：（P77）表4-2中,,ABC三轴的233组合如图4-4（b）所示，即：()()23,432TO四面点群(){}{}23