倒易点阵

第三章：倒易点阵§3.1倒易点阵的概念及一般介绍§3.2倒易点阵的定义及应用§3.3利用倒易点阵计算晶面间距§3.4利用倒易点阵计算晶面夹角第三章：倒易点阵§3.1倒易点阵的概念及一般介绍倒易点阵是晶体学中极为重要的概念，也是衍射理论的基础。晶体点阵：－－实空间由晶体的周期性直接抽象出的点阵(正点阵)；倒易点阵：－－倒易空间由正点阵的傅里叶变换得来的点阵。（倒易点阵）t)()(nTtftf+=ω)(ωFTTπ2……Tπ4Tπ6Tπ8时域（正空间）真实，难以描述频域（倒空间）抽象，易于描述周期函数很多物理性质与倒空间的特性相联系：音调、滤波、……Tπω20=∫=TtindtetfnF000)()(ωω∑∞=−=00210)()(ntinenFtfωπω0ωωn=晶体：三维空间的周期函数晶体中原子的周期排列决定了晶体中的一切都是周期的。dverGavrGi∫⋅=rrrrπρφ2)()()()(clbmanrr例：电子密度的傅里叶变换rrrrr+++=ρρclbmanG′+′+′=rrrr倒空间中的倒易点阵rGiGeGrrrrrr⋅−∑=πφρ2)()(Bloch波：第三章：倒易点阵§3.2倒到易点阵的定义及应用)(,)(,)(cbabaccbaacbcbacbarrrrrrrrrrrrrrrrrr×⋅×=′×⋅×=′×⋅×=′)(cbaVrrr×⋅=晶胞体积brcrarb′rc′ra′r某方向点阵越长，倒易点阵越短量纲：L-1定义：VV1=Ω晶胞有不同的取法，点阵是客观存在的，倒易点阵是唯一的，倒易点阵晶胞随晶胞变化。L-1L特别注意：画在一起，但并不在同一空间课堂练习：作出下图所示2D点阵的倒易矢量G100、G010、G110示意图：brar课堂练习：作出下图所示2D点阵的倒易矢量G100、G010、G110示意图：brar(100)(010)(110)G100G110G010第三章：倒易点阵§3.2倒到易点阵的定义及应用0,0,10,0,10,0,1=⋅′=⋅′=⋅′=⋅′=⋅′=⋅′=⋅′=⋅′=⋅′bcacccabcbbbcabaaarrrrrrrrrrrrrrrrrr正交归一性(本质)：0)(,1)(=×⋅×⋅=⋅′=×⋅×⋅=⋅′cbaacaabcbacbaaarrrrrrrrrrrrrrr)3,2,1,(01=⎩⎨⎧≠===⋅′jijijieeijjiδrr证明：与两个正交，长度与另一个成反比。倒易点阵的倒易点阵是正点阵，正点阵和倒易点阵互为倒易点阵。例：点阵常数为a的一维点阵••••a•←⎯→•⊗⊗⊗⊗1a⊗←⎯→⊗点阵：0,0,====VcbeaaxrrrrxxeananGeaarrrrr1,1=′==′倒易点阵：n为整数点阵常数为的一维点阵的倒易点阵是点阵常数为的一维点阵aa1例：点阵常数为a的二维正方点阵braraab′ra′ra1a1点阵：0===ceabeaayxrrrrryxeabeaarrrr1,1=′=′倒易点阵：yxeameanbmanGrrrrr11+=′+′=点阵常数为的二维正方点阵a1例：点阵常数为a的简单立方点阵brcrara1a1aaab′rc′ra′ra1点阵：zyxeaceabeaarrrrrr===zyxeaceabeaarrrrrr1,1,1=′=′=′倒易点阵：zyxealeameanGrrrr111++=3aV=()31−=Ωa点阵常数为的立方点阵a1例：点阵常数为a的体心立方点阵点阵：)()()(222zyxaPzyxaPzyxaPeeeceeebeeearrrrrrrrrrrr+−=++−=−+=321aVP=PbrPcrParPb′rPc′rPa′r32a=Ω倒易点阵：)()()(111zxaPzyaPyxaPeeceebeearrrrrrrrr+=+=+=点阵常数为的面心立方(FCC)点阵a2例：点阵常数为a的面心立方点阵点阵：)()()(111zyxaPzyxaPzyxaPeeeceeebeeearrrrrrrrrrrr+−=′++−=′−+=′倒易点阵：)()()(222zxaPzyaPyxaPeeceebeearrrrrrrrr+=+=+=点阵常数为的体心立方(FCC)点阵341aVP=34a=Ωa2第三章：倒易点阵§3.2倒到易点阵的定义及应用应用：X射线衍射„劳厄的一个科学假设1911年埃瓦尔德在索末菲的指导下在慕尼黑大学从事博士论文研究，劳厄在与他的讨论中了解到晶格的平移周期与X射线的波长属于同一量级，因此想到在二维光栅的两个衍射方程组中再加一个类似的方程，就可以描述X射线在三维晶体中的衍射。在此假设的指导下，Knipping和Friedrich在1912年4月开始用CuSO4后来用闪锌矿（立方ZnS）进行实验，很快就得到X射线衍射的证据。这不但证明了X射线的波动性，还确定了晶体的三维周期性。„布拉格父子老布拉格在1912年夏得知这个消息，与他儿子小布拉格一道尝试用X射线的粒子性解释它，并由小布拉格在剑桥大学重复这个实验。根据衍射斑点的椭圆形状和从Pope那里学到的晶格理论（由此得知ZnS具有面心立方晶格），小布拉格将X射线在晶体中的衍射看作是X射线从一些晶格平面的反射，从而推导出著名的布拉格方程。布拉格父子开拓了X射线晶体结构分析这门新兴学科，从简单的无机化合物和矿物，逐渐发展到有机化合物和生物大分子，发展成为晶体结构分析最常规的手段。迄今，人类创造的新物质大概有3000万种，绝大多数都是通过X射线衍射确定结构的。dd晶面间距i)点间（面内）干涉：θθ′=即二维点阵的零级主极强方向在以晶面为镜面的反射方向上。θθ′ii)面间干涉（布喇格）公式：λθkd=sin2d光程差kr0kr0kksrrr−=θdvEfersEVersi∫⋅=02)()(rrrrπρrGiGeGrrrrrr⋅−∑=πφρ2)()(dvEfeGsEVerGsiG∫∑⋅−=0)(2)()(rrrrrrπφ倒易点阵和波矢在同一空间！电子密度的Bloch波：kr0kr衍射条件(非零解)：Ewald球λ1=RGkksrrrr=−=0O0kksrrr−=物理：电子的波动周期正好补偿衍射矢量之差！kr0krλ1=ROhklGrθGR21sin=θλθ=sin2hkld美以科学家分享2009年诺贝尔化学奖３名获奖者通过独立的研究工作，分别采用X射线蛋白质晶体学方法绘制出3D模型来体现合成核糖体的成千上万个原子的位置，他们绘制的模型已被广泛应用于新抗生素的研制，以减少患者的病痛和拯救生命。第三章：倒易点阵§3.1倒易点阵的概念及一般介绍§3.2倒易点阵的定义及应用§3.3利用倒易点阵计算晶面间距§3.4利用倒易点阵计算晶面夹角第三章：倒易点阵§3.3利用倒易点阵计算晶面间距与面指数的关系：clbkahGhkl′+′+′=rrrr点阵面)(hklGhkl⊥r1)2)hklhklGdr1=一族晶面用倒易点阵中一个阵点来表示，就是以正点阵中面指数为指数的倒易矢量。crAhaChklGrBlckbbr证明1)：bkahBArr11−=()0)()(11=×⋅×⋅−×⋅×⋅=′+′+′⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⋅cbaacbcbacbaclbkahbkahGBAhklrrrrrrrrrrrrrrrrrrhkld(hkl)Oar()0)()(11=×⋅×⋅−×⋅×⋅=′+′+′⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−=⋅cbabaccbaacbclbkahclbkGCBhklrrrrrrrrrrrrrrrrrr证明2)：hklhklhklhklhklGGclbkahahGGOAdrrrrrrrr11=′+′+′⋅=⋅=倒格点与点阵面一一对应hklGr)(hklhkl2adhkl22立方晶系＝＋＋hkl21dhklabc22正交晶系＝（）＋（）＋（）hkl21d4hhkkl3ac222六方晶系＝＋＋（）＋（）四方晶系2221⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=clakahdhkl上述公式仅适用于简单晶胞,对于复杂晶胞则要考虑附加面的影响fcc当（hkl）不为全奇、偶数时，有附加面：hkl2adhkl221＝，如{100},{110}2＋＋hkl21d4hhkkl3ac2221＝，2＋＋（）＋（）h2k3nn0123⋅⋅⋅⋅⋅⋅当＋＝（＝，，，，），l=奇数，有附加面：通常低指数的晶面间距较大，而高指数的晶面间距则较小.详见：《结晶学》附录1bcc当h＋k＋l＝奇数时，有附加面：如{100},{111}六方晶系:立方晶系：如(001)面第三章：倒易点阵§3.4利用倒易点阵计算晶面夹角clbkahGlkh′+′+′=rrrr111111clbkahGlkh′+′+′=rrrr222222ϕcos222111222111lkhlkhlkhlkhGGGGrrrr=⋅222222111111coslkhlkhlkhlkhGGGGrrrr⋅=ϕ立方晶系))((cos222222212121212121lkhlkhllkkhh++++++=ϕ晶向的情况类似详见：《结晶学》附录2、附录3正倒空间晶体学元素符号的标记规则正点阵倒易点阵z晶面指数(hkl)(uvw)’z晶向指数[uvw][hkl]’z面间距dhkld’uvwz点阵矢量RuvwG’hklz阵点位置uvwhkl()hkl⊥[hkl]’[uvw](uvw)’dhklG’hkl1d’uvw1Ruvw总结1.晶体点阵描述实体空间质点的分布；倒易点阵在到空间描述分布的周期性，反映了晶体更本质的物理现象：周期性。2.倒空间和波矢空间重合，倒易点阵能有效地分析晶体的衍射、散射等相互作用。3.倒空间和倒易点阵可以方便地计算晶体学中的晶面间距、面角、晶面法线等几何量。作业《结晶学》p.29:1-5补充题：1、利用倒易点阵性质证明晶带方程。2、同一晶带的晶面的倒易点如何分布?3、求体心立方点阵和正交底心点阵的倒易点阵。