巧用几何方法平分图形面积

情境导入如图所示，在一块矩形土地上，有一平行四边形水池，怎样修一条水渠把土地面积分成相等的两部分？ABCDEFGH困惑与思维突破困惑：土地被水池占去一部分，剩余的是不规则图形，怎么平分不规则图形的面积？思维突破：原有土地是矩形，水池是平行四边形，这是两个基本图形的组合图形.要解决怎么平分组合图形的面积，我们先来研究基本图形平分面积的情况.有一块三角形花园，现在物业公司要对其进行绿化，要求用一条直线为分界线把这块三角形空地分成面积相等的两块，一块用来种花，一块用来植绿色植被，如果你是设计师，你应该怎样设计，才能满足要求？ABC平分基本图形的面积平分三角形的面积ABC三角形一边中线所在的直线平分三角形面积面积.依据：等底等高（或同）的两个三角形面积相等.如果花园形状是矩形，要求用一条直线为分界线把这块矩形空地分成面积相等的两块，应该怎样设计，才能满足要求？ABOEF割补原理平分基本图形的面积过对角线的交点任意一条直线平分矩形面积.除了这几种分法外，还有其它分法吗？怎么分？ABOEFO′过矩形中心的任意一条直线都等分矩形的面积。ABOEF如果花园形状是平行四边形，用一条直线为分界线把这块空地分成面积相等的两块，怎么分？ABCD●●●过平行四边形中心的任意一条直线都等分它的面积。过对角线交点的任一直线平分它们的面积平分特殊的平行四边形的面积平分正多边形和圆的面积1、尝试平分正五边形和正六边形的面积正奇边形的对称轴平分面积；过正偶边形中心的任一条直线平分面积.2、尝试平分圆的面积过圆心的任一条直线平分面积平分梯形的面积1、你能找到一条平分梯形面积的直线吗？平分面积你首先想到平分什么？首先考虑平分对边.两腰中点所在直线不能平分梯形面积；两底中点所在直线平分梯形面积.•直线平分梯形面积：（1）两底中点所在直线.（2）变形为等积的平行四边形.（3）变形为等积的三角形.•注意：所作直线必须与梯形两底都相交.问题解决平分变形梯形依据：上下底中点所在直线平分梯形面积；构成“8”字型全等三角形.（自行证明）如果花园是任意四边形，一条直线将其分成等积的两块，有几种分法？怎么分？直线可以任意角度吗？运用转化的思想，将其变形为等积的三角形.ABCD解题策略：任意四边形变形为等积的三角形.ABCDDCBAEDCBAEDCBAEDCBAGFEDCBAGFEDCBA平分组合图形的面积ABCDEFGH1、问题情境的解决连接AC和BD交于O1，连接EG和FH交于O2，作直线O1O2，沿O1O2修水渠可把土地平分.O1O2思考：问题就这样轻易解决吗？你发现水渠的位置有什么特点？ABCDEFGH问题情境一反思因为ＡＤ∥ＨＧ且所作直线和ＡＤ、ＨＧ均相交.，利用上述方法也可作无数条直线平分面积ABCDEFGH问题情境一反思修改这是不会出现情境一的情况.本图只能作一条直线平分土地面积.如图，甲、乙两家的地被一条小路ABC分开，地的两边是两条平行的道路，现在为方便行走，想把弯道ABC改成直道(改后两家的地以这条直道为界)，且不能改变两家的土地面积，你能帮他们改一下吗？ABC●●乙甲O1O2EFDABC●乙甲EFBACDEFO问题情境二请你在图中画一条直线把它分成面积相等的两部分.问题解决方法一（割法）：如图，分割成上下两个长方形.分别作两条对角线的交点，过两交点作直线即平分面积.方法二（割法）：问题解决如图，分割成左右两个长方形.分别作两条对角线的交点，过两交点作直线即平分面积.问题解决方法三（补法）：如图，补成一个大长方形.分别作两条对角线的交点，过两交点作直线即平分面积.反思：探究到此结束吗？平分面积的直线还有吗？问题情境二反思借助上述方法我们也可以作无数条直线平分面积问题情境三如图，在五边形ＡＢＣＤＥ中，ＡＢ∥ＥＤ，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，则可以将五边形ＡＢＣＤＥ分成面积相等的直线有条.ＡＢＣＤＥＡＢＣＤＥ方法一：上下分成梯形和矩形.作梯形中位线和两底中点所连线段的交点，再作矩形对角线的交点，过两交点作直线，可平分面积.方法二：左右分成梯形和矩形.作梯形中位线和两底中点所连线段的交点，再作矩形对角线的交点，过两交点作直线，可平分面积.ＡＢＣＤＥ只有这两条直线？正确方法分析ＡＢＣＤＥ以方法一所作直线ｌ为基础进行分析.１、问题就在ＡＢ∥ＥＤ，而直线ｌ与ＡＢ、ＥＤ均相交.２、类比平分梯形面积，可构造“８”字型全等三角形就可寻找到正确答案.问题解决ＡＢＣＤＥ直线ｌ分别交ＡＢ、ＤＥ于Ｍ、Ｎ两点，作ＭＮ的中点Ｏ，过Ｏ点作任意和ＡＢ、ＥＤ均相交的直线即可.ＯＬ方法二同上过MN的中点任画一条直线，只要与AE相交都满足条件。MEBACDO1O2NMEBACDN如图，在一梯形土地上，有一矩形水池，怎样修一条水渠可以把土地面积分成相等的两部分.问题解决1、作梯形中位线和上下底中点所连接的线段交于点M.2、连接矩形的对角线交于点N.3、作直线MN.则水渠沿MN方向修平分土地面积MN如图，在⊙O中，弦AB∥CD，怎样作一条直线把阴影面积分成相等的两部分.阴影ABCDABCD问题解决分析：阴影部分为轴对称图形.1、作对称轴分别交AB和CD于M、N；MN2、作线段MN的中点；3、过中点作任一条直线且与AB、CD均相交.则所作直线即平分阴影面积.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB、CD为直径挖去两个全等弓形，怎样做一条直线把阴影部分分成面积相等的两部分.CABD阴影问题解决分析：阴影部分为轴对称图形.1、连接AD、BC中点M、N；2、作梯形中位线交MN的中点O；3、过中点O作任一条直线且与AD、BC均相交.则所作直线即平分阴影面积.ABDCMNO如图在六边形ABCDEF中，BC∥AD∥EF，怎样作一条直线把六边形分成面积相等的两部分.DABCEF问题解决1、作梯形ADEF上下底中点所连线段和中位线的交点M；ABCEFD2、作梯形ABCD上下底中点所连线段和中位线的交点N；MN3、作直线MN交EF于P，交BC于Q；4、作PQ的中点O，过O点作与EF、BC均相交的任意直线.则所作直线即平分六边形的面积O如图梯形ABCD和EFGH两块土地，AB∥CD∥EF∥GH，怎样修一条小路穿过两块土地，使小路两旁的土地面积相等.DACBEFGHDACBEFGH问题解决1、作梯形ABCD中位线与两底中点所连线段的交点M；2、作梯形EFGH中位线与两底中点所连线段的交点N；3、作直线MN.NM则沿MN修小路可使小路两旁土地面积相等.如图梯形ABCD和EFGH两块土地，AB∥CD，EF∥GH，怎样修一条小路穿过两块土地，使小路两旁的土地面积相等.DACBG问题解决1、作梯形ABCD中位线与两底中点所连线段的交点M；2、作梯形EFGH中位线与两底中点所连线段的交点N；3、作直线MN.NM则沿MN修小路可使小路两旁土地面积相等.DACBG如图三个梯形土地，怎样修一条小路穿过三块土地，使小路两旁的土地面积相等.问题解决1、作梯形①中位线与两底中点所连线段的交点M；2、作梯形②中位线与两底中点所连线段的交点N；3、作直线MN交①的上底于P，交②的上底于Q，做PQ的中点O1；则沿O1O2修小路可使小路两旁土地面积相等.MN4、作梯形③中位线与两底中点所连线段的交点O2；5、作直线O1O2.O1O2PQ问题4如何用一条直线把四边形分成面积相等的两部分解题策略：任意四边形变形为等积的三角形课堂小结•（2）平分平行四边形面积：找过中心的直线.•（3）平分梯形面积：找两底中点所在直线；•等积变形成三角形；•等积变形成平行四边形.•（4）平分一般四边形面积：变形为等积的三角形.•1．知识点•（1）平分三角形面积：找中线.课后思考：如果花园形状是任意四边形ABCD，四边形内部有一条折线小路AEC刚好平分四边形面积，现在小区的物业公司想把折线小路修成直线小路，由于各种条件限制，小路要通过点A，并且只能修在AC和点E之间，同时还要平分四边形面积，请你帮助设计？