趋势外推预测方法

2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅1第七章趋势外推预测方法§7.1趋势外推预测法概述§7.2多项式曲线法§7.3指数曲线法§7.4修正指数曲线法和双指数曲线法§7.5生长曲线法§7.6增长型曲线模型的识别方法§7.7增长型曲线模型的参数估计§7.8包络曲线法2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅2§7.1趋势外推预测法概述统计资料表明，大量社会经济现象的发展主要是渐进型的，其发展相对于时间具有一定的规律性。趋势外推预测方法，是根据事物的历史和现实数据，寻求事物随时间推移而发展变化的规律，从而推测其未来状况的一种常用的预测方法。趋势外推法的假设条件是：–(1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物的发展变化是渐进型的。–(2)假设所研究系统的结构、功能等基本保持不变，即假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合未来，能代表未来趋势变化的情况。2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅3由以上两个假设条件可知，趋势外推预测法是事物发展渐进过程的一种统计预测方法。简言之，就是运用一个数学模型，拟合一条趋势线，然后用这个模型外推预测未来时期事物的发展。趋势外推预测法主要利用描绘散点图的方法(图形识别)和差分法计算进行模型选择。主要优点是：可以揭示事物发展的未来，并定量地估价其功能特性。趋势外推预测法比较适合中、长期新产品预测，要求有至少5年的数据资料。2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅4趋势外推法首先由R.赖恩（Rhyne）用于科技预测。他认为，应用趋势外推法进行预测，主要包括以下6个步骤：（1）选择预测参数；（2）收集必要的数据；（3）拟合曲线；（4）趋势外推；（5）预测说明；（6）研究预测结果在制订规划和决策中的应用。趋势外推法是在对研究对象过去和现在的发展作了全面分析之后，利用某种模型描述某一参数的变化规律，然后以此规律进行外推。为了拟合数据点，实际中最常用的是一些比较简单的函数模型，如线性模型、指数曲线、生长曲线、包络曲线等。2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅5趋势外推预测可以分为两大类：–时间序列趋势外推预测–增长型曲线外推预测本章主要讲述增长型曲线外推预测，并对时间序列趋势外推预测进行简单回顾（§7.1）。时间序列趋势外推预测又可以分为：–样本序列具有水平趋势的外推预测法–样本序列具有非水平趋势的外推预测法–样本序列具有线性趋势的外推预测法–样本序列具有线性趋势和季节波动的外推预测法2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅61、样本序列具有水平趋势的外推预测法–（1）朴素预测法–（2）平均数预测法2、样本序列具有非水平趋势的外推预测法–（1）加权移动平均法式中，为加权因子，满足1ˆttyy111ˆ()/nnnyyyyny101111ˆnnnNnNyyyy011,,,N101Nii2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅7–（2）一次指数平滑预测法3、样本序列具有线性趋势的外推预测法–（1）二次移动平均值预测法（即趋势移动平均法）(1)(1)1(1)1(1)ˆˆ(1)tttttttSySySyy(1)11(2)(1)(1)(1)11(1)(2)(1)(2)()/()/ˆ22()1ttttNttttNtTttttttttMyyyNMMMMNyabTaMMbMMN2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅8–(2)二次指数平滑预测法(1)(1)1(2)(1)(2)1(1)(2)(1)(2)(1)(1)ˆ2()1tttttttTttttttttSySSSSyabTaSSbSS2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅94、样本序列具有线性趋势和季节波动的外推预测法–经济时间序列一般可以分解为四个因素：长期趋势T、周期变动C、季节因素S和随机因素I，并有如下三种模型：乘法模型：Y=TCSI加法模型：T=T+C+S+I混合模型：Y=TC+SI–下面，分别介绍加法型和乘法型序列的趋势外推预测方法。2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅10–（1）加法型序列的外推预测法假设样本序列为序列yt是加法型，即12,,,nyyy1234441,0,1,2,,1,2,3,4;ttttttttiiitityTSTSTSSSSSSSti式中，，，均具有相同的量纲;有线性趋势;，，，为季节分量，服从N(0,)分布满足，为独立的随机变量序列，服从N(0,)分布。2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅11求yn+T的预测值，预测步骤如下：第一步，对样本序列做时段长为3的滑动平均，消去随机干扰，记滑动平均后的序列为第二步，对求出趋势线第三步，将序列yt消除线性趋势因素的影响，求出消去趋势影响后的序列值Mt第四步，将Mt值按季节次序重排，如下表1所示，在此假定t=1代表春季，n=20.ty12()/33,,1ttttyyyytnˆ,3,,1tytnˆtTabtˆtttMyT2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅12对表7.1.1各列算出平均值，依序记为，分别表示样本序列的季节指数。表7.1.11234,,,SSSS2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅13第五步，对样本季节指数进行检验，若，则符合季节指数的条件，否则，则需对样本季节指数进行修正。修正的方法是：若，则将每个减去3/4，即令标准化的季节指数为Si：那么有第六步，运用已求得的Tt，Si即可进行预测，由于是不可预测的随机干扰，由此得到410iiS410iiS413iiSiS3/4iiSS444111(3/4)30iiiiiiSSSt4ˆˆ[()][()][()]1,2,3,4nTnTnTnTiniyTSabnTSabnTSabnTSi2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅14例：某市的啤酒销售量有如表7.1.2的数据序列，试求出第21，22，23，24季度的啤酒销售量的预测值。表7.1.22020/5/20华北电力大学工程造价刘梅15解：第一步，按滑动时段长N=3，求出序列的滑动平均值，削去随机干扰，显出趋势求出趋势线的方程第二步，计算，并将Mt按季节排列，如表7.1.3所示，由于，故需对进行修正，修正后的，即第三步，进行预测，ˆ252tTtˆtttMyT415.64.46.261iiSiS1/4iiSS12345.35,4.65,6.45,5.75SSSSˆ[()]nTnTyabnTS21211222222323324244ˆ2522167675.3561.65ˆ2522267694.6573.65ˆ2522367716.4577.45ˆ2522467735.7567.25ySSySSySSySS2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅16表7.1.32020/5/20华北电力大学工程造价刘梅17–（2）乘法型序列的外推预测法设样本序列为，外推预测公式可表示为现介绍求估计值的传统分解方法。第一步，对yt序列值分解出长期趋势因素。假设季节长度为4，只要将序列作滑动长度为4的滑动平均时，即可消除随机干扰和季节波动影响。记滑动平均值为则滑动平均后的序列，即为线性趋势因素，故有12,,,tyyyˆˆˆtttyTS,ttTSˆˆ,ttTS123()/4tttttyyyyy123()/4ttttttyyyyyTttttyTSe（2-1）（2-2）2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅18第二步，对yt分解出季节因素与随机因素，根据以去除yt，得到该式只含季节因素和随机因素两个分量。第三步，从中分解出季节因素St。由于，故可采用平均的方法可以消除随机性影响。但简单的平均可能把季节影响也消除掉，因此，为保留季节性影响，可将序列(2-3)式按春、夏、秋、冬顺序逐年逐季排列，然后，将各年相同季节的相加起来进行平均，这就达到了保留季节性，消除随机性的目的。tyttttyTSe//ttttttttyyTSeTSettSe（2-3）()0tEttSe2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅19表7.1.4例如，有表7.1.4的数值表，将该表的春季这一栏的值相加求平均值，就得到了消除随机性的春季季节指数。类似可以求出夏、秋、冬各季的季节指数。分别记为：将这些值相加，得到，与标准的季节指数和有差异，这是由于样本的随机性所致。为使所求的季节指数比较接近标准的季节指数，必须对上述样本季节指数进行调整，使调整后的季节指数总和恰为400。通过调整，季节指数的含义更加明显了。ttSe234113.32,109.86,76.74,104.72iSSSS41404.64iiS41400iiS2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅20第四步，运用(2-2)式的滑动平均后得到的数据序列，建立线性趋势方程，记为第五步，根据第三、四两步得到的季节指数St和Tt，即可按要求进行预测，预测公式是ˆˆˆtTabt4ˆˆˆ1,2,3,44,nTnTimnTiyTSTSinTimm其中：为整数2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅21例：某地某种服装的销售量有下述季度销售数据，见表7.1.5。根据表5的数据，绘制出销售量依时间变化的图形(见图7.1.1)。从图形可以明显地看出，序列呈季节性变化，季节长度为4。此外，序列有线性长期趋势，按乘法型序列外推预测法的基本原理，其模式为试求2000年春、夏、秋、冬各季某种服装的销售量预测值。ttttyTSe2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅22表7.1.52020/5/20华北电力大学工程造价刘梅23图7.1.12020/5/20华北电力大学工程造价刘梅24解：第一步，根据表7.1.5的数据，进行滑动时段长为4的滑动平均，得到如表7.1.6的滑动平均值。这些数值消除了季节波动与随机干扰的影响，显示出序列的趋势变化，见表7.1.6中Tt列中的数据。第二步，将表7.1.6中yt列中的数据除以Tt列中的数据，即得到列的数据，这表示已将从yt中分离出来。第三步，从序列中消除随机性的影响，分离出季节因素。ttSettSettSe2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅25表7.1.62020/5/20华北电力大学工程造价刘梅26表7.1.72020/5/20华北电力大学工程造价刘梅27将表7.1.6中列的数据，按年、季重排，如表7.1.7，然后，分别计算各季度的均值，这样便消去了随机性，保留了季节性。各列的平均值，即为各季的季节指数，又称为样本季节指数，对各样本季节指数求总得与标准季节指数有差异，因此，要作必要的调整，调整的方法是将乘以修正系数由此，得到调整后的季节指数为ttSe414.0354iiSiS414/4/4.0350.991iiS12340.9490.9910.9420.8620.9910.8541.0460.9911.0371.1780.9911.167SSSS2020/5/20华北电力大学工程造价刘梅28第四步，求出趋势直线方程参数的求估，可用目估法或最少二乘法求出。用目估法求得，则有第五步，进行预测，2000年春季相当于第37季度，由此得到2000年各季度某种服装的销售量预测值为ˆˆˆtTabtˆˆ,abˆˆ79,2.5abˆ792.5tTt12000220003200042000ˆ161.55ˆ148.6ˆ183.03ˆ40