2013高考数学复习课件 2.2 函数的单调性与最大(小)值 理 新人教版

2．对于给定区间上的函数f(x)及属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，如果都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在_________上是增函数，这个区间就叫做这个函数的_________区间；如果都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在_________上是___函数，这个区间就叫做这个函数的_________区间．反映在图象上，若函数f(x)是区间D上的增(减)函数，则图象在D上的部分从左到右是上升(下降)的．1．函数f(x)＝x＋ax(a＞0)在区间__________________上为减函数，在区间_______________________上为增函数．(－a，0)和(0，a)(－∞，－a)和(a，＋∞)给定区间单调递增给定区间减单调递减3．设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对∀x∈I，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么M是函数y＝f(x)的__________．最大(小)值1．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是()A．y＝－x3，x∈RB．y＝x2，x∈RC．y＝x，x∈RD．y＝12x，x∈R解析：作出图象可知．答案：A2．下列函数在(0,2)上为增函数的是()A．y＝3－xB．y＝x2＋1C．y＝1xD．y＝－|x|解析：作图如下．由图可知y＝x2＋1在(0,2)上为增函数．答案B解析：作图可知．3．函数y＝11＋x的单调减区间是________．答案：(－∞，－1)，(－1，＋∞)4．函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值为________，最小值为________．解析：y＝4，x≤－1；2－2x，－1＜x＜3；－4，x≥3.作出图象：可知y的最大值为4，最小值为－4.答案：4－41．判断函数单调性的常用方法(1)定义法．(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数，一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数．(3)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．(4)如果f(x)在区间D上是增(减)函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增(减)函数．(5)如果y＝f(u)和u＝g(x)单调性相同，那么y＝f(g(x))是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)单调性相反，那么y＝f(g(x))是减函数．在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性，因此掌握并熟记一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程．2．函数最值的求法(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法．3．求最值时注意的问题(1)求函数最值的方法，实质与求函数值域的方法类似，只是答题方式有差异．(2)无论何种方法求最值，都要考虑“＝”能否成立．(即时巩固详解为教师用书独有)考点一用定义证明函数的单调性【案例1】利用单调性的定义证明：函数f(x)＝x＋ax(a为正常数)在区间(0，a]上是减函数．关键提示：在区间(0，a]上任意取两个实数x1，x2，且x1＜x2，重点在于分析f(x1)与f(x2)的大小关系．证明：在区间(0，a]上任意取两个实数x1、x2，且x1＜x2.则f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2＋ax2＝(x1－x2)＋a1x1－1x2＝x1－x2x1x2(x1x2－a)．又0＜x1＜x2≤a，所以x1－x2＜0，x1x2＞0，x1x2＜a.所以f(x1)－f(x2)＞0.即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在(0，a]上是减函数．(1)证明：设0＜x1＜x2，则x1－x2＜0，x1x2＞0.所以f(x1)＜f(x2)，即f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．【即时巩固1】已知函数f(x)＝1a－1x(a0)．(1)用函数单调性的定义证明f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)若f(x)的定义域、值域都是12，2，求实数a的值．f(x1)－f(x2)＝1a－1x1－1a－1x2＝x1－x2x1x2＜0，(2)解：因为f(x)的定义域和值域都是12，2，又因为f(x)在12，2上是单调增函数，所以f12＝12，f2＝2，即1a－2＝12，1a－12＝2，所以a＝25.A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]关键提示：通过研究f(x)与g(x)的图象进行求解．解析：f(x)＝－x2＋2ax的对称轴为x＝a，所以a≤1.所以a＞0，即a∈(0，＋∞)，所以a∈(0,1]，所以选D.答案：D【案例2】若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()又因为g(x)＝ax＋1在[1,2]上为减函数，考点二函数单调性的应用【即时巩固2】若函数f(x)＝x2＋(a2－4a＋1)x＋2在区间(－∞，1]上是减函数，则a的取值范围是()A．[－3，－1]B．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)C．[1,3]D．(－∞，1]∪[3，＋∞)答案：C解析：函数f(x)的对称轴为x＝－a2－4a＋12，由f(x)在(－∞，1]上为减函数知，－a2－4a＋12≥1，解得1≤a≤3.考点三函数的值域和最值【案例3】某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房．由于地理位置的限制，房屋侧面的长度x不得超过am．房屋正面的造价为每平方米400元，房屋侧面的造价为每平方米150元，屋顶和地面的造价共5800元．已知墙高3m，且不计房屋背面的费用．(1)把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域；(2)当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？关键提示：先建立函数关系，再利用函数的单调性求最值．解：(1)由题意可得y＝32x×150＋12x×400＋5800＝900x＋16x＋5800(0＜x≤a)．(2)y＝900x＋16x＋5800≥900×2x·16x＋5800＝13000，当且仅当x＝16x，即x＝4时取等号．若a≥4，x＝4时，有最小值13000.若a＜4，任取x1、x2∈(0，a)，且x1＜x2，y1－y2＝900x1＋16x1＋5800－900x2＋16x2－5800＝900x1－x2＋161x1－1x2＝900x1－x2x1x2－16x1x2，因为x1＜x2＜a，所以x1－x2＜0，x1x2＜a2＜16，所以y1－y2＞0，所以y＝900x＋16x＋5800在(0，a]上是减函数，所以当x＝a时，y有最小值900a＋16a＋5800.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明：对∀x1、x2∈R，令x2x1，则f(x2)－f(x1)＝f(x1＋(x2－x1))－f(x1)＝[f(x1)＋f(x2－x1)]－f(x1)＝f(x2－x1)，因为x2x1，所以x2－x10，所以f(x2－x1)0，所以f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)，所以f(x)在R上是减函数．(2)解：因为f(x)在R上是减函数，易证f(x)在R上是奇函数，所以ymin＝f(3)＝3f(1)＝－2，ymax＝－f(3)＝2.【即时巩固3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.